《编程之美》买书问题

《编程之美》有一道很有趣的题目：买书问题，题目的内容如下：
上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

        本数    2       折扣   5%

        本数    3       折扣  10%

        本数    4       折扣  20%

        本数    5       折扣  25% 
       
设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。
作者先尝试用贪心算法分析问题，最后得出结论：针对这个问题试图用贪心策略行不通，然后转用动态规划算法解答。大概思路是：
用（X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。并满足X1 <= X2 <= X3 <= X4 <= X5
可得到：

F（X1，X2，X3，X4，X5）  = 0                                                // if (X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = 0)
                       = min{
                            5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1）  // if (X1 > 0)
                            4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1）    // if (X2 > 0)
                            3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1）      // if (X3 > 0)
                            2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1）         // if (X4 > 0)
                            8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1）                    // if (X5 > 0)
                         }   

我们来分析题目，“读者所购买的一批书的最低价格”分两种场景，一种是这批书里每一卷的本数都是确定的；另一种是这批书里每一卷的本数都是不确定的，我们只能得知这批书总共有多少本，然后根据总数推算出所有组合的最低价格。显然，作者给出的算法针对的是前者，如果是后者的话，如何设计算法呢？
我们用N代表书的总数，F(N)代表N本书的价格，并满足N > 0 ，那么有以下五种组合：
1、购买的书里，其中有单独的一卷没享受到折扣。举例：11本书，5+5+1组合。列出公式：

F(N) = F(N - 1) + 8                                                       // if (N > 0)

2、购买的书里，其中有两卷享受到了5%折扣。举例：11本书，5+4+2组合。列出公式：

F(N) = F(N - 2) + 8 × 2 × 95%                                             // if (N > 1)

3、购买的书里，其中有三卷享受到了10%折扣。举例：11本书，4+4+3组合。列出公式：

F(N) = F(N - 3) + 8 × 3 × 90%                                             // if (N > 2)

4、购买的书里，其中有四卷享受到了20%折扣。举例：11本书，5+4+2组合。列出公式：

F(N) = F(N - 4) + 8 × 4 × 80%                                             // if (N > 3)

5、购买的书里，其中有五卷享受到了25%折扣。举例：11本书，5+4+2组合。列出公式：

F(N) = F(N - 5) + 8 × 5 × 75%                                             // if (N > 4)

可得到：

min(F(N)) = min{
                F(N - 1) + 8                                              // if (N > 0)
                F(N - 2) + 8 × 2 × 95%                                    // if (N > 1)
                F(N - 3) + 8 × 3 × 90%                                    // if (N > 2)
                F(N - 4) + 8 × 4 × 80%                                    // if (N > 3)
                F(N - 5) + 8 × 5 × 75%                                    // if (N > 4)
            }

源代码如下：

package algorith.books;

import java.util.Scanner;

public class Books1 {

    public static void main(String[] args){
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        while (scanner.hasNext()) {
            int n = scanner.nextInt();
            System.out.println("the min price is " + price(n));
        }
    }

    public static double price(int n){
        double min_p = 0;

        if (n==0)
            return 0;

        min_p = price(n-1) + 8;

        if (n >= 2) {
            double temp = price(n-2)+8*2*0.95;
            if (min_p > temp)
                min_p = temp;
        }

        if (n >= 3) {
            double temp = price(n-3)+8*3*0.9;
            if (min_p > temp)
                min_p = temp;
        }

        if (n >= 4) {
            double temp = price(n-4)+8*4*0.8;
            if (min_p > temp)
                min_p = temp;
        }

        if (n >= 5) {
            double temp = price(n-5)+8*5*0.75;
            if (min_p > temp)
                min_p = temp;
        }

        return min_p;
    }

}

运行结果如下：

1
the min price is 8.0
2
the min price is 15.2
3
the min price is 21.6
4
the min price is 25.6
5
the min price is 30.0
6
the min price is 38.0
7
the min price is 45.2
8
the min price is 51.2
9
the min price is 55.6
10
the min price is 60.0