2019-ACM-ICPC-沈阳区网络赛-K. Guanguan's Happy water-高斯消元+矩阵快速幂

2019-ACM-ICPC-沈阳区网络赛-K. Guanguan's Happy water-高斯消元+矩阵快速幂

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【Problem Description】

已知前\(2k\)个\(f(i)\)，且\(f(n)=f(n-1)\cdot p(1)+f(n-2)\cdot p(2)+\dots+f(n-k)\cdot p(k)\)。求\(f(1)+f(2)+\dots+f(n)\)。

【Solution】

根据题目条件可知
\[ f(k+1)=f(k)\cdot p(1)+f(k-2)\cdot p(2)+\dots+f(1)\cdot p(1)\\ f(k+2)=f(k+1)\cdot p(1)+f(k-1)\cdot p(2)+\dots+f(2)\cdot p(1)\\ \vdots\\ f(2k)=f(2k-1)\cdot p(1)+f(2k-2)\cdot p(2)+\dots+f(k)\cdot p(1)\\ \]
\(k\)个方程，\(k\)个未知数，所以可以用高斯消元求得矩阵\(P\)。则：
\[ \left(\begin{matrix} f(n)\\ f(n-1)\\ f(n-2)\\ \vdots\\ f(n-k+1) \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} p(1)&p(2)&\dots&p(k-1)&p(k)\\ 1&0&\dots&0&0\\ 0&1&\dots&0&0\\ \vdots\\ 0&0&\dots&1&0 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} f(n-1)\\ f(n-2)\\ f(n-3)\\ \vdots\\ f(n-k) \end{matrix}\right) \]
则有\(f(n)\)的前缀和\(sum(n)\)：
\[ \left(\begin{matrix} f(n)\\ f(n-1)\\ f(n-2)\\ \vdots\\ f(n-k+1)\\ sum(n) \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} p(1)&p(2)&\dots&p(k-1)&p(k)&0\\ 1&0&\dots&0&0&0\\ 0&1&\dots&0&0&0\\ \vdots\\ 0&0&\dots&1&0&0\\ p(1)&p(2)&\dots&p(k-1)&p(k)&1 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} f(n-1)\\ f(n-2)\\ f(n-3)\\ \vdots\\ f(n-k)\\ sum(n-1) \end{matrix}\right) \]
则通过矩阵快速幂即可求直接得\(f(n)\)的前缀和。复杂度为高斯消元的复杂度\(O(k^3)\)加上矩阵快速幂的复杂度\(O(k^3\cdot log(n))\)。所以总复杂度为\(O(T\cdot k^3\cdot log(n))\)。约为\(4\times 10^8\)。

注意特判\(n\le 2\times k\)的情况

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【Code】

/*
 * @Author: Simon 
 * @Date: 2019-09-19 20:19:56 
 * @Last Modified by: Simon
 * @Last Modified time: 2019-09-21 20:14:34
 */
#include
using namespace std;
typedef int Int;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
#define maxn 145
#define maxm 145
/*
Author: Simon
返回自由变量个数，-1表示无解。
若矩阵的秩=增广矩阵的秩=变量个数，则有唯一解
若矩阵的秩=增广矩阵的秩<变量个数，则有无穷多解
若矩阵的秩<增广矩阵的秩,则无解

注：若用于开关问题，则使用注释部分。
复杂度: O(n^3)
*/
const int/*开关问题：int*/ eps = 1e-10;
// int n/*方程个数*/, m/*变量个数*/;
int/*开关问题：int*/ a[maxn][maxn]/*增广矩阵(n*(m+1)),开关问题：a[i][j]表示与j关联的开关为i*/, x[maxn]/*解*/; 

int fpow(int a,int b,int mod){
    int ans=1;a%=mod;
    while(b){
        if(b&1) ans=1LL*ans*a%mod;
        a=1LL*a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
inline int sgn(int x) { return x?1:0; } //若x不接近0，返回1，否则返回0。

int Gauss(int a[maxn][maxn]/*增广矩阵*/, int n/*方程个数*/, int m/*变量个数*/) {
    memset(x, 0, sizeof(x));
    int r = 0/*第r行*/, c = 0/*第c列*/;
    while (r < n && c < m) {/*化为上三角矩阵*/
        int m_r = r;
        for(int i=r+1;i abs(a[m_r][c])) m_r = i; /*从第r行开始，找出第c列绝对值最大的 */
        if (m_r != r){
            for(int j=c;j=0;i--){/*回代解方程组*/
        int/*开关问题：int*/ s = a[i][m];
        for(int j=i+1;j=len) continue;
                m[i][j]=1;
            }
        }
    }
    int *operator [](int x){
        return m[x];
    }
};
Matrix mul(Matrix a,Matrix b,int n){
    Matrix c;
    for(int i=0;i>=1;
    }
    return c;
}

int t[maxn];
Int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    //freopen("input.in","r",stdin);
    //freopen("output.out","w",stdout);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int T;scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        memset(a,0,sizeof(a));
        int k;long long n;scanf("%lld%lld",&k,&n);
        for(int i=1;i<=2*k;i++){
            scanf("%lld",t+i);
        }
        if(n<=2LL*k){ //特判
            long long _ans=0;
            for(int i=0;i