斐波那契数列通项公式

定义

斐波那契数列指的是每一项都等于前两项之和的数列，定义为F[1]=1，F[2]=1, F[n]=F[n-1]+F[n-2]（n>=3）。

通项公式

我们先来研究形如F[n]=c₁F[n-1]+c₂F[n-2]的数列。
对于这样的数列，F[n]-xF[n-1]与F[n-1]-xF[n-2]的比值一定是一个定值，即：

将其进行移项运算，得：

对应得：

回到斐波那契数列的问题中来，把c₁=c₂=1代入特征方程组得：

解得：

两组解分别记为x₁、y₁、x₂、y₂。

再看：

此式是一个公比为y的等比数列，第一项为F[1]-xF[0]，第二项为F[2]-xF[1]，以此类推，第n项为F[n]-xF[n-1]，根据等比数列公式F[n]=F[1]q^n-1得：

将两组x、y的解代入得方程组：

将x₁=y₂；x₂=y₁代入后，解得：

因为F[0]，F[1]，x₁，x₂均为已知，可记为常项，得到斐波那契数列的通项公式：

又因为F[1]=F[2]=1，所以得到方程组：

解得：

因此，斐波那契数列的通项公式为：