目录
- 一、集合的简化表示
- 二、题意理解
- 三、程序框架搭建
- 3.1 Input_connection
- 3.2 Check_connection
- 3.3 Check_network
- 四、pta测试
- 五、按秩归并
- 5.1 方法一：树高替代
- 5.2 方法二：规模替代
- 六、路径压缩
- 6.1 路径压缩时间复杂度计算
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一、集合的简化表示
在上一节 集合及运算中，我们对集合使用二叉树表示，如下图所示：
为了使用二叉树，我们在上一节中使用以下代码，构造二叉树：
/* c语言实现 */
typedef struct{
ElementType Data;
int Parent;
} SetType;
int Find(SetType S[], ElementType X)
{
// 在数组S中查找值为X的元素所属的集合
// MaxSize是全局变量，为数组S的最大长度
int i;
for (i = 0; i < MaxSize && S[i].Data != X; i++);
if (i >= MaxSize) return -1; // 未找到X，返回-1
for (; S[i].Parent >= 0; i = S[i].Parent);
return i; // 找到X所属集合，返回树根结点在数组S中的下标
}使用二叉树构造集合，Find操作在差的情况下时间复杂度可能为\(O(n^2)\)
因此对于任何有限集合的（N个）元素都可以被一一映射为整数 0~N-1。即对于集合 {2, 5, 4, 3} 和 {6, 0, 1} 我们可以使用如下图所示的数组表示：
对于上述的数组，我们可以使用如下代码构造：
/* c语言实现 */
typedef int ElementType; // 默认元素可以用非负整数表示
typedef int SetName; //默认用根结点的下标作为集合名称
typedef ElementType SetType[MaxSize];
SetName Find(SetType S, ElementType X)
{
// 默认集合元素全部初始化为-1
for (; S[X] >= 0; X = S[X]);
return X;
}
void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)
{
// 这里默认Root1和Root2是不同集合的根节点
S[Root2] = Root1;
}二、题意理解
根据输入样例，以此来判断计算机之间有多少个组成，如下图所示
上图动态变化如下图所示：
下图为五台计算机之间形成全连接状态，因此看成一个整体：
三、程序框架搭建
/* c语言实现 */
int main()
{
初始化集合;
do {
读入一条指令;
处理指令;
} while (没结束);
return 0;
}
int main()
{
SetType S;
int n;
char in;
scanf("%d\n", &n);
Initialization(S, n);
do {
scanf("%c", &in);
switch (in) {
case 'I': Input_connection(S); break; // Union(Find)
case 'C': Check_connection(S); break; // Find
case 'S': Check_network(S, n); break; // 数集合的根，判断计算机网络的组成个数
}
} while (in != 'S');
return 0;
}3.1 Input_connection
/* c语言实现 */
void Input_connection(SetType S)
{
ElementType u, v;
SetName Root1, Root2;
scanf("%d %d\n", &u, &v);
Root1 = Find(S, u-1);
Root2 = Find(S, v-1);
if (Root1 != Root2)
Union(S, Root1, Root2);
}3.2 Check_connection
/* c语言实现 */
void Check_connection(SetType S)
{
ElementType u, v;
scnaf("%d %d\n", &u, &v);
Root1 = Find(S, u-1);
Root2 = Find(S, v-1);
if (Root1 == Root2)
printf("yes\n");
else printf("no\n");
}3.3 Check_network
/* c语言实现 */
void Check_network(SetType S, int n)
{
int i, counter = 0;
for (i = 0; i < n; i++){
if (S[i] < 0) counter++;
}
if (counter == 1)
printf("The network is connected.\n");
else
printf("There are %d components.\n", counter);
}四、pta测试
/* c语言实现 */
typedef int ElementType; // 默认元素可以用非负整数表示
typedef int SetName; //默认用根结点的下标作为集合名称
typedef ElementType SetType[MaxSize];
SetName Find(SetType S, ElementType X)
{
// 默认集合元素全部初始化为-1
for (; S[X] >= 0; X = S[X]);
return X;
}
void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)
{
// 这里默认Root1和Root2是不同集合的根节点
S[Root2] = Root1;
}对于上述的代码，如果我们放入pta中测试，会发现测试点6运行超时，如下图所示：
因此，我们会考虑是不是因为出现了某种情况，导致Root2为根结点的树过大了，因此我们修改代码为：
/* c语言实现 */
typedef int ElementType; // 默认元素可以用非负整数表示
typedef int SetName; //默认用根结点的下标作为集合名称
typedef ElementType SetType[MaxSize];
SetName Find(SetType S, ElementType X)
{
// 默认集合元素全部初始化为-1
for (; S[X] >= 0; X = S[X]);
return X;
}
void Union(SetType S, SetName Root1, SetName Root2)
{
// 这里默认Root1和Root2是不同集合的根节点
// S[Root2] = Root1;
S[Root1] = Root2;
}
发现更换代码后，测试点5却运行超时了，为了解决上述问题，我们可以使用下面将要讲到了按秩归并的思想修改代码。
五、按秩归并
为什么需要按秩归并呢？因为我们使用pta测试程序，发现代码总是超时，因此我们可以考虑是否出现这种情况——我们再不断地往一颗树上累加子树，如下图所示：
/* c语言实现 */
Union(Find(2), Find(1));
Union(Find(3), Find(1));
……;
Union(Find(n), Find(1));
从上图可以看出，此过程的时间复杂度为：\(T(n) = O(n^2)\)
除了上述这种情况，会导致树的高度越来越高，如果我们把高树贴在矮树上，那么树高也会快速增长，因此我们应该考虑把矮树贴在高数上。
对于上述问题的解决，我们给出以下两个解决方法，这两种方法统称为按秩归并。
5.1 方法一：树高替代
为了解决上述问题，我们可以把根结点从-1替代为-树高，代码如下：
/* c语言实现 */
if ( Root2高度 > Root1高度 )
S[Root1] = Root2;
else {
if ( 两者等高 ) 树高++;
S[Root2] = Root1;
}
if ( S[Root2] < S[Root1] )
S[Root1] = Root2;
else {
if ( S[Root1]==S[Root2] ) S[Root1]--;
S[Root2] = Root1;
}5.2 方法二：规模替代
为了解决上述问题，我们也可以把根结点从**-1替代为-元素个数（把小树贴到大树上），代码如下：
/* c语言实现 */
void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 )
{
if ( S[Root2]六、路径压缩
对于上述代码超时的问题，我们也可以使用路径压缩的方法优化代，即压缩给定元素到集合根元素路径中的所有元素，详细情况如下图所示：
上图代码可表示为：
/* c语言实现 */
SetName Find(SetType S, ElementType X)
{
// 找到集合的根
if (S[X] < 0)
return X;
else
return S[X] = Find(S, S[X]);
}总之上述代码干了这三件事：
- 先找到根；
- 把根变成X的父结点；
- 再返回根
因此，路径压缩第一次执行的时间比较长，但是如果频繁使用查找命令，第一次将路径压缩，大大减小树的高度，后续查找速度将大大增加
6.1 路径压缩时间复杂度计算
由于pta并没有严格控制时间限制，使用java这种语言，不使用路径压缩，问题不大，我写这个也只是为了回顾算法，来放松放松，不是为了折腾自己，因此。
给你一个眼神自己体会，给你一个网址亲自体会https://www.icourse163.org/learn/ZJU-93001?tid=1206471203#/learn/content?type=detail&id=1211167097&sm=1，我是懒得研究下图所示了。
