理学院 16数理本 吴化灯
解数学题不是要把自己当成解题的机器、解题的奴隶，而应该努力成为解题的主人。
――题记
培根曾经说过：“历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细”，对于数学专业的我们在做题的过程中也发现了一题多解的现象和对它产生了独特的见解。但是学习并不是单纯地模仿和记忆,不是被动地吸收、反复地练习和强化记忆,而是应该以已有的知识、经验为基础,通过主体与客体的相互作用主动去建构意义的过程。而是对同一个问题从不同角度、不同方向依据题目所提供的条件,借助一些思想方法的指导,从而挖掘出尽可能多的有用信息,设想出多种解决问题的方案,并利用已有知识分别解决问题的过程,我们称之为一题多解。在一题多解的问题情境下,我们学生的思维活动逐渐在问题信息的激发下活跃起来,各种新颖的见解逐一产生,解决问题的思路逐步在我们学生的主动思考或同学间的相互交流、合作下形成并不断得到完善。作为学生的我们还可以通过一题多解,使知识本身被掌握和应用,加强了各知识点之间的有效整合,形成了对知识体系的重新建构,同时开拓了思维,锻炼了解决问题的灵活性,提炼了解决问题的思想方法,获得了一定的知识和经验。
首先，一题多解,利于激发学习兴趣。一题多解的题目要具有代表性 , 能包容大部分所学知识点 , 不能过于繁难 , 但也不能流于简 单。过难挫伤学生研究学习的积极性 , 过于简单我们学生会没有兴趣 , 这一步对激发我们的学习、探究的兴趣很重要。
例如,有这样一道题目 :甲、乙、丙三位同学合乘一辆出租车同往一个方向 , 事先约定三人分 摊车资 , 甲在全程的 1/3处下车 , 乙在全程的 2/3处下车 , 丙坐完全程下车 , 车费共 54元。问甲、 乙、丙三位同学各付多少车费比较合理 ?学生对此车资问题很感兴趣 , 甲、乙、丙三位同学各付多少车费比较合理 , 意见很不一致。 经过尝试设计了 3种方案 :第一种方案由甲、乙、丙三人均分 , 即每人各付 18元 ; 第二种方案按 路程分摊 :甲、乙、丙所乘路程的比为 1∶ 2∶ 3分别付费 9元、 18元、 27元 ; 第三种方案分段结 算 :车费共 54元 , 如果按前 1/3路程 , 中间 1/3路程和最后 1/3路程分别计算车费 , 则各为 18元 , 开 始的 1/3路程需付 18元 , 甲、乙、丙各付 6元 , 中间的 1/3路程需付 18元 , 则乙、丙各付 9元 , 最 后的 1/3路程需付 18元 , 由丙承担 , 这样甲应付 6元 , 乙应付 15元 , 丙应付 33元 ;从上例可以看出 , 同学们对此题很感兴趣 , 思维活跃 , 勇于探究 , 学习效果很明显。
其次，一题多解,利于培养创新与探究能力。 变换题设或结论 ,从多个角度来探究同一个问题,这不仅可以让我们学生综合运用所学知识点解题,增强解题的应变能力,还培养了数学思维的深刻性和广阔性,从而培养创新思维的良好学习品质。一题多解，总结规律，培养我们思维的探索性和深刻性。通过变式解题，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识。伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。我们在做数学题的解答过程中，可以通过一题多解的应用还能够起到举一反三的作用。
比如，计算cos46°的数值。
解法1：利用三角函数恒等变换定理可以得到公式cos46°=1－2sin23°=1－cos92°=1－2（2cos²46°-1）²。我们可以设cos46°为a，那么可以得到方程a=1-2（2a²-1）²。通过解答方程a=1-2（2a²-1）²。可以计算出a的值，那么也就得到了cos46°的数值。
解法2：设计顶角为46°的等腰三角形∆ABC,三个角分别为46°、67°、67°，∠ABC的角平分线BC与∠BAC的角平分线AC相交，交点为D，由此可以证得∆ABC与∆BCD相似,因为BC、BD、AD相等，所以可以得到BC²=AB·BC,进而得到AD²=﹙AD＋DC﹚·DC,利用正弦定理可以解得BC／DC=sin46º／sin67º=2cos²46º，从而可以计算出cos²46º的值，进而解得cos46º的值。
由以上两点可得出，每种解题方式的思路是不同的，应用的数学知识也各有不同，通过对思路的拓展，从多个角度和层面出发，实现了对问题的一题多解、举一反三，进而提升我们在数学解题的效率。