【欧拉函数】POJ 2407 Relatives

http://poj.org/problem?id=2407

题意：求少于或等于n的数中与n互质的数的数目。（n不大于10亿）


Sample Input
7
12
0

Sample Output
6
4

欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

φ函数的值  Euler函数
通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数
φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）【注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3】

定理：

若n是素数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质
欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)

证明：

若n= ∏ p^α

则φ(n)=∏(p-1)p^(α-1)=n∏(1-1/p)

∵欧拉函数是积性函数

所以有：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)


特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明于上述类似

特殊地，p是素数，φ(p) = p - 1，φ(p)称为p的欧拉值


简单套公式：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <set>
//#include <map>
#include <queue>
#include <utility>
#include <iomanip>
#include <stack>
#include <list>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
//#include <ctime>
#include <ctype.h>
using namespace std;

int Euler (int n)
{
	int i, res = n;    //公式的x
	for (i = 2; i * i <= n; i++)
	{
		if (n % i == 0)
		{
			n /= i;
			res = res - res / i;    //公式
			while (n % i == 0)
				n /= i;
		}
	}
	if (n > 1)
		res = res - res/n;    //公式
	return res;
}

int main()
{
	int n;
	while (scanf ("%d", &n), n)
		printf ("%d\n", Euler(n));
	return 0;
}