【bzoj5004】开锁魔法II 组合数学+概率dp

题目描述

有 $n$ 个箱子，每个箱子里有且仅有一把钥匙，每个箱子有且仅有一把钥匙可以将其打开。现在随机打开 $m$ 个箱子，求能够将所有箱子打开的概率。

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题解

组合数学+概率dp

题目约定了每个点的入度和出度均为1，因此最终的图一定是若干个环。每个环都至少选择一个点即可满足要求。

预处理出每个环的点数 $c[i]$ 以及其后缀和 $sum[i]$ 。

设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个环中选出 $j$ 个点，满足最终条件的概率。初始化 $f[0][0]=1$ 。

枚举 $i$ 和前 $i-1$ 个环的点数 $j$ 、第 $i$ 个环的点数 $k$ ，那么：$i\sim n$ 的总方案数为 $C_{sum[i]}^{m-j}$ ，满足条件的方案数为 $c[i]$ 中选出 $k$ 个的方案数乘以剩下部分选出 $m-j-k$ 个的方案数 $C_{c[i]}^k·C_{sum[i]-c[i]}^{m-j-k}$ 。

整理一下即可得到dp方程 $f[i][j+k]\leftarrow f[i-1][j]·\frac{C_{c[i]}^k·C_{sum[i]-c[i]}^{m-j-k}}{C_{sum[i]}^{m-j}}$ 。

最后的答案就是 $f[n][m]$ 。

其中组合数直接使用double存据说能过，然而我比较怂，因此存的是阶乘的 $\ln$ ，求的时候再 $\text{exp}$ 回去。

时间复杂度 $O(Tn^2)$

#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 310
using namespace std;
int a[N] , c[N] , vis[N] , sum[N];
double fac[N] , f[N][N];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d" , &T);
    while(T -- )
    {
        memset(vis , 0 , sizeof(vis));
        memset(f , 0 , sizeof(f));
        f[0][0] = 1;
        int n , m = 0 , p , i , j , k;
        scanf("%d%d" , &n , &p);
        for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]) , fac[i] = fac[i - 1] + log(i);
        for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
        {
            if(!vis[i])
            {
                c[++m] = 0;
                for(j = i ; !vis[j] ; j = a[j])
                    vis[j] = 1 , c[m] ++ ;
            }
        }
        sum[m + 1] = 0;
        for(i = m ; i ; i -- ) sum[i] = sum[i + 1] + c[i];
        for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
            for(j = max(i - 1 , p - sum[i]) ; j < p && j <= n - sum[i] ; j ++ )
                for(k = 1 ; k <= c[i] && j + k <= p ; k ++ )
                    f[i][j + k] += f[i - 1][j] * exp(fac[c[i]] + fac[sum[i] - c[i]] + fac[p - j] + fac[sum[i] - p + j] - fac[k] - fac[c[i] - k] - fac[p - j - k] - fac[sum[i] - c[i] - p + j + k] - fac[sum[i]]);
        printf("%.9lf\n" , f[m][p]);
    }
    return 0;
}