Karatsuba 大整数乘法算法 (Nim 语言实现)

我们平时接触的长乘法，按位相乘，是一种时间复杂度为 O(n ^ 2) 的算法。今天，我们来介绍一种，时间复杂度为 O (n ^ log 3) 的大整数乘法(log 表示以 2 为底的对数)。

介绍原理

karatsuba 算法要求乘数与被乘数要满足以下几个条件，第一，乘数与被乘数的位数相同；第二，乘数与被乘数的位数应为 2 次幂，即为 2 ^ 2, 2 ^ 3, 2 ^ 4， 2 ^ n 等数值。

下面我们先来看几个简单的例子，并以此来了解 karatsuba 算法的使用方法。

两位数相乘

我们设被乘数 A = 85，乘数 B = 41。下面来看我们的操作步骤：

将 A, B 一分为二，令 p = A 的前半部分 = 8，q = A 的后半部分 = 5 ， r = B 的前半部分 = 4 ，s = B 的后半部分 = 1，n = 2。通过简单的数学运算：

A * B = pq * rs = (p * 10 + q) * (r * 10 + s) = p * r * 10 ^ 2 + (p * s + q * r ) * 10 + q * s。

令 u = p * r，v = (p - q) * (s - r)，w = q * s。 所以 A * B = u * 10 ^ 2 + (u + v + w) * 10 + w。

换成数值求解的过程如下：

A * B = 85 * 41 = (8 * 10 + 5) * ( 4 * 10 + 1) = 8 * 4 * 10 * 10 + (8 * 1 + 5 * 4) * 10 + 5 * 1。其中 u = 8 * 4 = 32，v = (8 - 5) (1 - 4) = -9，w = 5 * 1 = 5。所以，A * B = 32 * 100 + (32 - 9 + 5) * 10 + 5 = 3485。与长乘法所得结果一致。

四位数相乘

我们设被乘数 A = 8537，乘数 B = 4123。下面来看我们的操作步骤：

将 A, B 一分为二，令 p = A 的前半部分 = 85，q = A 的后半部分 = 37 ， r = B 的前半部分 = 41 ，s = B 的后半部分 = 23，n = 4。

==> 其中，u = 85 * 41, v = (85 - 37) * (23 - 41), w = 37 * 23。

==> A * B = 8537 * 4123 = u * 10 ^ 4 + (u + v + w) * 10 ^ 2 + w = 3485_0000 +34_7200 + 851 = 35198051。

在我们计算 u， v, w 的过程中又会涉及两位数的乘法，我们继续使用 Karatsuba 算法得出两位数相乘的结果。

N 位数相乘

我们令 n 为 乘数与被乘数的位数，令 p = A 的前半部分，q = A 的后半部分， r = B 的前半部分 ，s = B 的后半部分。

==> 其中， u = p * r，v = (p - q) * (s - r)，w = q * s。 所以 A * B = u * 10 ^ n + (u + v + w) * 10 ^ (n / 2) + w。

而 u, v, w 则是两个 n / 2 位的乘法运算。我们继续调用 Karatsuba 算法计算 u, v, w 的数值。接着，我们在计算 n / 2 乘法的过程中又会遇到 n / 4 位的乘法运算……以此类推，直到我们遇到两个个位数的乘法，我们就直接返回这两个个位数乘法的结果。层层返回，最终得到 N 位数的乘法结果。

代码实现

代码实现时，需要将大整数先转换为字符串，然后再截取相应部分的数字，最后计算出最后结果。

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import math
import strutils


proc kara(a: int64, b: int64): int64 =
  if a < 10 or b < 10: 
    return a * b
  var a_str = $a 
  var b_str = $b
  var a_len = a_str.len
  var b_len = b_str.len
  let real_len = float(max(a_len, b_len))
  let max_len = 2 ^ int(ceil(log2(real_len)))
  let mid = max_len shr 1
  while a_len < max_len:
    a_str = "0" & a_str
    a_len += 1
  while b_len < max_len:
    b_str = "0" & b_str
    b_len += 1
  let p = parseInt(a_str[0 .. mid-1])
  let q = parseInt(a_str[mid .. a_str.len-1])
  let r = parseInt(b_str[0 .. mid-1])
  let s = parseInt(b_str[mid .. b_str.len-1])
  let u = kara(p, r)
  let v = kara(q - p, s - r)
  let w = kara(q, s)
  return u * 10 ^ max_len + (u + w - v) * 10 ^ mid + w

输出结果：

==> echo kara(123456, 9734) == 123456 * 9734

==> echo kara(1234233456756, 32459734) == 1234233456756 * 32459734

时间复杂度

我们平常使用的长乘法，是 O (n ^ 2) 的时间复杂度。比如两个 N 位数相乘，我们需要将每一位按规则相乘，所以需要计算 N * N 次乘法。而使用 Karatsuba 算法每层需要计算三次乘法，两次加法，以及若干次加法，每使用一次 karatsuba 算法，乘法规模就下降一半。所以，对于两个 n = 2 ^ K 位数乘法运算，我们需要计算 3 ^ K 次乘法运算。

而 K = log n(底数为 2)， 3 ^ K = 3 ^ log n = 2 ^ (log 3 * log n) = 2 ^ (log n * log 3) = n ^ log 3 （底数为 2）。