数论数学：生成函数（一）

###### ~~嗯，生成函数是个函数。。~~

生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项，生成函数是推导Fibonacci数列的通项公式方法之一。
简而言之，生成函数就是把计数问题（排列组合）转化成代数问题的这么一个函数，神奇的是它可以推例如斐波那契之类的数列的通项公式。所以本文以斐波那契为例来解释生成函数的作用，但生成函数的用法还有许多，在本文中不再阐述，感兴趣的可以翻看《具体数学》或百度百科（手动滑稽）。

今天这篇博客先写用生成函数推一些简单的递推式
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#### 前置知识
在介绍生成函数之前，我们先要了解几个前置知识：

- 一元二次方程求解
- 等比数列求和公式
- 一种特别的泰勒展开
额，一元二次方程和等比数列求和公式已经简单到自闭了，这里就不讲了。
关于泰勒展开：
对于函数G(x)
$$G(x)=1+kx+k^2x^2+k^3x^3...
$$
很明显
$$ kx×G(x)=kx+k^2x^2+k^3x^3...=G(x)-1
$$
所以
$$ G(x)=\frac{1}{1-kx}
$$
over

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#### 生成函数是什么
对于任意数列$$a_0,a_1,a_2...a_n... $$即用如下方法与一个函数联系起来：
$$
F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n...
$$
或
$$
F(x)=\sum_0^{\infty}a_ix^i
$$
则称F(x)是数列的生成函数。
那么关于斐波那契数列的生成函数就是：
$$
F(x)=1+x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5...
$$
根据斐波那契的递推式
$$
F(x)=xF(x)+x^2F(x)+1
$$
所以
$$
F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}
$$
根据一元二次方程求解公式：
$$
F(x)=\frac{1}{(1-\frac{1+\sqrt5}{2}x)(1-\frac{1-\sqrt5}{2}x)}
$$
设
$$
k_1=\frac{1+\sqrt5}{2},
k_2=\frac{1-\sqrt5}{2}
$$
利用幂级数展开：
$$
F(x)=(1+k_1x+k_1^2x^2...)(1+k_2x+k_2^2x^2...)
$$
那么根据生成函数的定义，F(x)的n次项的系数就是斐波那契数列的第n位
$$
f(n)=\sum_0^nk_1^ik_2^{n-i}
$$
利用等比数列求和公式化简得到：
$$
f(n)=\frac1{\sqrt5}.[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n]
$$
# 完结撒花！！！