HGOI 20190822 OCWA提高组模拟赛二

Problem A 快递

根节点为$1$ ， 含有$n$个节点的树，每一条边都有一段开放的时间$[s_i,e_i]$，和经过需要的时间。

有$q$组询问，每一次在时刻$t_i$出发从根节点出发走到第$u$个节点，沿着最短路走，询问是否可行。

注意到，当在边开放的时间走到这条边上均被认为合法，走出边的时间不会因此而限制。

对于$100\%$的数据，满足$1 \leq n,q \leq 5\times 10^5$

Solution : 

　　考虑能否到达$u$的条件，就是能否在$u$上方的那条边$(fa,u)$的规定时间内到达该点的父亲$fa$。

　　我们注意到从根节点出发的时间为$time$，那么到达一个节点$u$的总时间就是这个点父亲前缀边的长度之和$pre$。

　　转化一下，能否到达这个点上方的那一条边的条件就是$time_u + pre \in [s_{Edge} , t_{Edge}]$ 

　　解出来就是$time_u \in [s_{Edge}-pre,t_{Edge}-pre]$

　　所以到达一个点既有当前点的限制，又有该点到根之间点的限制，所以我们只需要将这个点到根的所有点限制的区间交起来就可以了。

　　这样子，我们直接做一遍$dfs$即可，复杂度就是$O(n+q)$

# pragma GCC optimize(3)
# include 
# define inf (1e12)
# define int long long
# define Rint register int
# define YES putchar('Y'),putchar('E'),putchar('S')
# define NO putchar('N'),putchar('O')
using namespace std;
const int N = 5e5+10;
struct A { int pre,to,w,s,t; }a[N<<1];
struct B { int l,r; }tim[N];
int tot,n,m;
int head[N],d[N],f[N];
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char c=0;
    while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
void adde(Rint u,Rint v,int w,int s,int t)
{
    a[++tot].pre=head[u];
    a[tot].to=v; a[tot].w=w;
    a[tot].s=s; a[tot].t=t;
    head[u]=tot;
}
void dfs(Rint u,Rint fa)
{
    for (Rint i=head[u];i;i=a[i].pre) {
        int v=a[i].to; if (v==fa) continue;
        tim[v].l=max(tim[u].l,a[i].s-d[u]);
        tim[v].r=min(tim[u].r,a[i].t-d[u]);
        d[v]=d[u]+a[i].w;
        dfs(v,u);
    }
}
signed main()
{
    n=read();m=read();
    for (Rint i=2;i<=n;i++) {
        int u=read()+1,v=read()+1,w=read(),s=read(),t=read();
        adde(u,v,w,s,t); adde(v,u,w,s,t);
    }
    tim[1].l=-inf; tim[1].r=inf;
    dfs(1,0);
    while (m--) {
        int u=read()+1,t=read();
        (t>=tim[u].l && t<=tim[u].r)?(YES):(NO);
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}

A.cpp

Problem B 工资

给出一个$1$为根节点，含有$n$个节点的树,每个点初始有一个权值$v_i$。

维护两种操作，"u A x" 表示将编号为$A$的子树除了节点$A$的所有节点权值加$x$,"p A"表示求编号为$A$节点的权值。

对于$100\%$的数据满足$1 \leq n,q \leq 5\times 10^5$

Solution :

　　　　由于子树的$dfs$序是连续的，所以本题直接按照dfs序建立树状数组即可。

　　　　维护区间加，单点求和。

　　　　复杂度是$O((q+n) log_2 n)$

# pragma GCC optimize(3)
# include 
# define int long long
# define Rint int
using namespace std;
const int N=5e5+10;
struct rec{
    int pre,to;
}a[N<<1];
int c[N],head[N],dfn[N],R[N],val[N];
int tot,n,m;
# define lowbit(x) (x&(-x))
void update(int x,int y){for (;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=y;}
int query(int x) { int ret=0; for (;x;x-=lowbit(x)) ret+=c[x];return ret;}
int modify(int l,int r,int d) {update(l,d); update(r+1,-d);}
#undef lowbit
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char c=0;
    while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
void write(int x)
{
    if (x<0) x=-x,putchar('-');
    if (x>9) write(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}
inline void writeln(int x) {
    write(x); putchar('\n');
}
inline void adde(Rint u,Rint v)
{
    a[++tot].pre=head[u];
    a[tot].to=v;
    head[u]=tot;
}
void dfs(Rint u,Rint fa)
{
    dfn[u]=++dfn[0]; R[u]=dfn[u];
    for (Rint i=head[u];i;i=a[i].pre) {
        int v=a[i].to; if (v==fa) continue;
        dfs(v,u);
    }
    R[u]=dfn[0];
}
signed main()
{
    n=read(); m=read(); val[1]=read();
    for (Rint i=2;i<=n;i++) {
        int f; val[i]=read(); f=read();
        adde(i,f); adde(f,i);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) dfs(i,0);
    for (Rint i=1;i<=n;i++) modify(dfn[i],dfn[i],val[i]);
    while (m--) {
        char c=0; while (c!='p' && c!='u') c=getchar();
        if (c=='u') {
            int x=read(); 
            writeln(query(dfn[x]));
        }else {
            int x=read(),y=read();
            if (dfn[x]+1<=R[x]) modify(dfn[x]+1,R[x],y);
        }
    }
    return 0;
}

B.cpp

Problem C 坤坤数

坤坤数的定义是：对于一个数，不含前导零，给定$k$,存在$wk ,w \geq 1$作为后缀的数。

现在，我们给出$n$,$k$和$m$，求出$n$位坤坤数的数的个数$mod \ m$的值。

对于$100\%$的数据满足$n \leq 1000 ,1 \leq k \leq 100 , 1 \leq m \leq 10^9$

Solution : 

　　考虑$f[i][j][0/1][0/1]$表示当前考虑到第$i$位，当前数$mod \ k$为$j$，是否含有前导零，是否之前的后缀已经是$wk$了(即是否已经构成)

　　设从第$0$位开始添加数，那么最后的答案就是$\sum\limits_{i = 0}^{k-1} f[n-1][i][0][1]$ 。

　　考虑刷表法转移，

• $f[i][j][0][0] -> f[i+1][j][1][0] , f[i+1][(w\times 10^{i+1}+j)\% k][0][0]((w\times 10^{i+1}+j)\% k \neq 0) , f[i+1][0][0][1]$　　
• $f[i][j][0][1] -> f[i+1][j][1][1] , f[i+1][(w\times 10^{i+1}+j)\% k][0][1]$
• $f[i][j][1][0] -> f[i+1][j][1][0] , f[i+1][(w\times 10^{i+1}+j)\% k][0][0]((w\times 10^{i+1}+j)\% k \neq 0) , f[i+1][0][0][1]$
• $f[i][j][1][1] -> f[i+1][j][1][1] , f[i+1][(w\times 10^{i+1}+j)\% k][0][1]$

　　我们可以预处理出幂次取模，那么最后的复杂度就是$O(10 \times n \times k)$

#pragma GCC optimize(3)
# include 
# define int long long
using namespace std;
int n,k,m;
int f[1005][105][2][2];
int Pow(int x,int n,int mo)
{
    int ans=1;
    while (n) {
        if (n&1) ans=ans*x%mo;
        x=x*x%mo;
        n>>=1;
    }
    return ans%mo;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&m);
    (f[0][0][1][0]+=1)%=m; 
    for (int i=1;i<=9;i++) {
        bool ok = 0;
        for (int w=1;w<=10;w++) {
             if (w*k>9) break;
             if (w*k==i) { (f[0][i%k][0][1]+=1)%=m; ok = 1; break;}
         }
        if (!ok) (f[0][i%k][0][0]+=1)%=m;
    }
    for (int i=0;i<=n-2;i++)
     for (int j=0;j<=k-1;j++) {
         (f[i+1][j][1][0]+=f[i][j][0][0])%=m;
         for (int w=1;w<=9;w++)
          if ((w*Pow(10,i+1,k)%k+j)%k==0) (f[i+1][0][0][1]+=f[i][j][0][0])%=m;
          else (f[i+1][(w*Pow(10,i+1,k)%k+j)%k][0][0]+=f[i][j][0][0])%=m;
          
         (f[i+1][j][1][1]+=f[i][j][0][1])%=m;
        for (int w=1;w<=9;w++) 
         (f[i+1][(w*Pow(10,i+1,k)%k+j)%k][0][1]+=f[i][j][0][1])%=m;
         
        (f[i+1][j][1][0]+=f[i][j][1][0])%=m;
        for (int w=1;w<=9;w++)
         if ((w*Pow(10,i+1,k)%k+j)%k==0) (f[i+1][0][0][1]+=f[i][j][1][0])%=m;
         else (f[i+1][(w*Pow(10,i+1,k)%k+j)%k][0][0]+=f[i][j][1][0])%=m;
         
        (f[i+1][j][1][1]+=f[i][j][1][1])%=m;
        for (int w=1;w<=9;w++)
         (f[i+1][(w*Pow(10,i+1,k)%k+j)%k][0][1]+=f[i][j][1][1])%=m;
     }
    int ret = 0;
    for (int i=0;i<=k-1;i++) (ret+=f[n-1][i][0][1])%=m;
    printf("%lld\n",ret);  
    return 0;
}

C.cpp