分治维护dp——19南昌网络赛C/cf750E

南昌网络赛，是cf的原题

第一次做到这种题，所以认真想了下，每次给一个询问[L，R],要求出这个区间里有2017子序列，但是不能有2016子序列需要删掉的最少元素个数

首先如果我们之询问一小段区间[L,R]那么显然有一个简单的三维dp可以做，状态0|1|2|3|4表示关键字一个也没有，有2，有21，有201，有2017的情况，dp[i][j]表示从状态i转移到状态j最小需要删除的字符

那么显然当s[i]=6时，有dp[3][3]=1,dp[4][4]=1

可以发现，这种状态是很好合并的,对于区间[l,mid]和区间[mid+1,r]，设前一半的状态是dp1,后一半的状态是dp2,,两个区间合起来的状态是dp[l][r]，那么就有dp1[l][k]+dp2[k][r]=dp[l][r]

所以我们可以直接用分治来求任意一个区间的所有状态复杂度是O（125/6nlogn）因为时间给的多，所以足够快

#include
using namespace std;
#define N 200005
#define INF 0x3f3f3f3f
char s[N];
int n,q;

void reserve(int l,int r){
    int i=l,j=r;
    while(i<j){
        swap(s[i],s[j]);
        ++i,--j;
    }
}

//状态0表示什么都没有，状态1表示2，状态2表示20，状态3表示201，状态4表示2019,dp[i][j]表示从i->j的代价 
//因为每段相邻的段状态具有可合并性，想到用线段树分治来维护合并信息，线段树[l,r]维护[l,r]所有状态的代价，合并时类似n^3的区间dp转移 
struct Node{
    int dp[5][5];
    Node(){
        memset(dp,0x3f,sizeof dp);
    }
}seg[N<<2];
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1 
Node merge(Node a,Node b){
    Node res;
    for(int l=0;l<5;l++)
        for(int r=0;r<5;r++)
            for(int k=0;k<5;k++)
                res.dp[l][r]=min(res.dp[l][r],a.dp[l][k]+b.dp[k][r]);
    return res;
} 
void build(int l,int r,int rt){
    if(l==r){
        for(int i=0;i<5;i++)
            seg[rt].dp[i][i]=0;
        if(s[l]=='2'){
            seg[rt].dp[0][0]=1;seg[rt].dp[0][1]=0;
        }else if(s[l]=='0'){
            seg[rt].dp[1][1]=1;seg[rt].dp[1][2]=0;
        }else if(s[l]=='1'){
            seg[rt].dp[2][2]=1;seg[rt].dp[2][3]=0;
        }else if(s[l]=='9'){
            seg[rt].dp[3][3]=1;seg[rt].dp[3][4]=0;
        }else if(s[l]=='8'){
            seg[rt].dp[3][3]=1;seg[rt].dp[4][4]=1;
        }
        return;
    }
    int m=l+r>>1;
    build(lson),build(rson);
    seg[rt]=merge(seg[rt<<1],seg[rt<<1|1]);
}
Node query(int L,int R,int l,int r,int rt){
    if(L<=l && R>=r)return seg[rt];
    int m=l+r>>1;
    Node res;
    for(int i=0;i<5;i++)res.dp[i][i]=0;
    if(L<=m)res=merge(res,query(L,R,lson));
    if(R>m)res=merge(res,query(L,R,rson));
    return res;
}


int main(){
    cin>>n>>q;
    scanf("%s",s+1);
    reserve(1,n); 
    build(1,n,1);
    while(q--){
        int L,R;
        scanf("%d%d",&L,&R);
        L=n-L+1;R=n-R+1;
        Node res=query(R,L,1,n,1);
        if(res.dp[0][4]==INF)
            puts("-1");
        else cout<0][4]<<endl;
    }
}