DTW动态时间规整算法

一.目的

时间序列是数据的一种常见表示形式，对于处理时间序列来说，一个普遍的任务就是比较两个序列的相似性。但是在实际问题中，大部分时间序列都是不等长的，有的序列可能波形类似，但是时间错位。如下图所示，虚线与实线波形是类似的，但是波峰错位，这种情况下，如果直接使用欧式距离来表示时间序列的相似性显然不合理。DTW出现的目的很简单，就是为了合理的衡量两条时间序列的距离（或者说叫相似性），而且不要求两条序列长度相等。

二.简单理解DTW

简单来说，DTW就是捏住两条序列的头和尾，疯狂的蹂躏它们，拉伸短的，压缩长的，使得它们长度对齐。可是落实到实际序列点上怎么才能对齐呢？其实就是让序列点间发生一对多或者多对一的对应关系。如上图所示，每个红圈点都对应了很多个点，这样就可以达到序列对齐的目的。
现在，问题就转化成为了，如何寻找两条序列上点的对应关系，且满足所有对应点间的距离和最小。这是一个很明显的优化问题。

三.求解DTW

假设我们有两个时间序列A和B，他们的长度分别是n和m：

A= a1, a2,…, aj,…, am ;
B = b1, b2,…,bi,…, bn ;

为了对齐这两个序列，我们需要构造一个下图所示的n x m的矩阵网格，矩阵元素(i, j)表示ai和bj两个点的距离dij（也就是序列A的每一个点和B的每一个点之间的相似度，距离越小则相似度越高。），一般采用欧式距离，dij=(ai−bj)**2 ，也可以采用绝对值距离 Abs（ai-bj）。
现在问题转化成了，从左下角（1,1）位置开始，到（n,m）点，找到一条距离和最短的路径。

那么这条路径我们怎么找到呢？哪条路径才是最好的呢？
我们把这条路径定义为规整路径，并用W来表示，这条路径不是随意选择的，需要满足以下几个约束：
1. 边界条件：
因为我们需要将两条序列对齐，所以路径的起点必须是（1,1），终点必须是（n,m）。
2. 连续性：
如果路径W上的节点wk-1= (a’, b’)，那么对于路径的下一个点wk=(a, b)需要满足 (a-a’) <=1和 (b-b’) <=1。也就是不可能跨过某个点去匹配，只能和自己相邻的点对齐。这样可以保证A和B中的每个坐标都在W中出现。
3. 单调性：
如果wk-1= (a’, b’)，那么对于路径的下一个点wk=(a, b)需要满足0<=(a-a’)和0<= (b-b’)。这限制W上面的点必须是随着时间单调进行的。

结合连续性和单调性约束，每一个格点的路径就只有三个方向了。例如如果路径已经通过了格点(i, j)，那么下一个通过的格点只可能是下列三种情况之一：(i+1, j)，(i, j+1)或者(i+1, j+1)。

这是一个显然的动态规划策略，假设我们要求到位置(i,j)的最小累计距离D(i,j)，那么它只能由： D(i−1,j) ； D(i,j−1)； D(i,j) 这三个位置的最小累计距离中寻找，也就是：

其中边界，D（0,0）=0; D（-1,0）=∞，D（0，-1）=∞

四. 举个例子

比如说，给定一个样本序列X和比对序列Y：

X：3，5，6，7，7，1

Y：3，6，6，7，8，1，1

DTW首先会根据序列点之间的距离(这里使用绝对距离)，获得一个序列距离矩阵 M（序列中任意两点间的距离都要计算）。

然后根据距离矩阵，使用DP算法的递推关系式，得到累计距离矩阵（或称代价矩阵）D：

最后，两个序列的距离，由代价矩阵最后一行最后一列给出，在这里也就是2。

五. 代码

import numpy as np
def DTW_distance(series_a,series_b):
    
    series_a=np.array(series_a)
    series_b=np.array(series_b)
    len_a=np.size(series_a)
    len_b=np.size(series_b)
    
    #计算序列间的绝对距离,距离矩阵M
    ABS_distance={}
    for i in range(len_a):
        for j in range(len_b):
            ABS_distance[(i,j)]=np.abs(series_a[i]-series_b[j])
            
    #利用DP算法求解最优路径
    #由于数组从0开始，元素必定从（0,0）位置出发，初始位置的代价就是其本身的距离
    D={(0,0):ABS_distance[(0,0)]}
    #首先求解第一行与第一列的累计距离（代价），因为他们的上一步唯一确定
    for i in range(1,len_a):
        D[(i,0)]=ABS_distance[(i,0)]+D[(i-1,0)]
        
    for i in range(1,len_b):
        D[(0,i)]=ABS_distance[(0,i)]+D[(0,i-1)]
        
    #求解其他位置
    for i in range(1,len_a):
        for j in range(1,len_b):
            D[(i,j)]=ABS_distance[(i,j)]+min(D[(i-1,j),D[(i,j-1),D[(i-1,j-1)])
            
    return D

参考：
https://blog.csdn.net/qq_39516859/article/details/81705010
https://blog.csdn.net/raym0ndkwan/article/details/45614813