数学历史上的三次危机

       古希腊在数学上最伟大的贡献是应用了演绎方式，欧氏几何则是这种方式的第一个辉煌成果。古代其他文明都没有这种贡献，故只能称为算学，哪怕古埃及有零星的如海伦公式等不错的结果。我们古代也一样，没有成体系的、完整的、抽象的应用，都是基于实际问题的离散解决问题的贡献，如同勾股定理，我们只是说勾三股四弦五构成一个直角三角形，但是并没有抽象出 c^2 = a^2 + b^2 ,更没有证明。现代数学的公理化运动正是为使数学严谨化，抽象化、使用的就是演绎方法。

       第一次数学危机（无理数发现）中，几何原本给出的利用反证法证明根号2不可公度的方法实在简洁、优雅。非欧几何的创立意味着常识的不可信，数学可能揭示更深入、更本质的关系。物理上，我们所处的空间是有内在结构的，中观尺度是平直的，符合我们的经验，欧氏几何适用。宇观尺度是马鞍型的，用黎曼几何。只是说明不同公理/设的选择导致的体系应用的有限范围，但任然是自洽的，真理性应该没有受到威胁（个人看法）。

       第二次数学危机（无穷小量），无穷小量的定义让黎曼积分改变了我们的世界。在算式中，若 ∆x→0，就是分析，否则就是代数。

       第三次数学危机中（哥德尔定理），让数学大厦的根基受到极大威胁。数学要求系统是即是一致的又是完备的，但是哥德尔定律却表示任何一个复杂得可以包含算数运算的系统，其一致性和完备性不能同时满足。 数理逻辑中对一个定理的证明通过命题、命题变元和相应的逻辑运算符号（与、或、非、蕴含等）一定的排列和运算规则形成一个符号串，专业叫法是合式公式。这个符号串（合式公式）就是证明过程。

        对命题变元和逻辑运算符号改造到用9个也可以表示所有的命题及证明的一个系统，让这9个符号和阿拉伯数字1～9之间形成一一对应，再加上一个0表示一个字符串/合式公式结束。这个对应叫做     “哥德尔配数”，这就在形式系统和算数系统中形成了双射。而且可以找到一种方法，让算数系统中通过一种算数运算可以唯一地对应着形式系统中一个证明（字符串）。这就是保持运算不变的映射，就是所谓的“同构”，在群论中这个概念也常用。只是这个 同构 有些特殊，它让算数系统通过算数运算来描述自身，“自指” 在此出现。在神一般存在的 “对角线引理” 中构造一个单变量函数，实例化后让其意义成为“属性”，通过算数运算规则计算得到关于 属性 对自身的描述，翻译成形式系统的语言可以得到 “我是不可证明的”，也就是一致性和完备性不能同时成立，这是对人类理性自信的巨大毁灭。从此，数学的确定性丧失了。连续统假设就是这样一个典型的哥德尔命题。

        从数学基础来说，基于不同的哲学观念有不同的流派，如形式主义、逻辑主义、直觉主义等三大主要流派，只有直觉主义构造的数学大厦才可以避免这个数学的死结，但是这个历来就和者少的学派（不承认选择公理、实无穷，反对把排中律用于无限集合等）会让数学中大量美妙的结论都没有了。