这道题真的是神题...
题意：
给一颗树，求：
\[\frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i*a_j)·dist(i,j)\]
对\(10^9+7\)取模
首先我们知道
\[\varphi(x)=x*\prod_{p|x}(1-\dfrac{1}{p})\]
所以就有：
\[\varphi(x)*\varphi(y)=x*y*\prod_{p|x}(1-\dfrac{1}{p})*\prod_{p|y}(1-\dfrac{1}{p})\]
设\(k=gcd(x,y)\)
我们假装让\(\varphi(x)*\varphi(y)=\varphi(xy)=x*y*\prod_{p|xy}(1-\dfrac{1}{p})\)
不难发现有少乘的嫌疑...
被少计算的是\(gcd\)质因数分解后的那些因数，所以我们可以得出：
\[\varphi(xy)=\dfrac{\varphi(x)*\varphi(y)*gcd(x,y)}{\varphi(gcd(x,y))}\]
忽略掉前面的系数，我们知道我们要求的是：
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\dfrac{\varphi(a_i)*\varphi(a_j)*gcd(a_i,a_j)}{\varphi(gcd(a_i,a_j))}·dist(i,j)\]
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\dfrac{\varphi(a_i)*\varphi(a_j)*gcd(a_i,a_j)}{\varphi(gcd(a_i,a_j))}(dep_x+dep_y-dep_{lca})\]
这样做显然很不好做
我们考虑枚举\(gcd\)，可以发现每个\(gcd\)对答案造成的贡献固定
于是就有：
\[\sum_{d=1}^n\dfrac{d}{\varphi(d)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i)\varphi(a_j)(gcd(a_i,a_j)==d)dist(i,j)\]
看到了一个恰好等于...
我们考虑记
\[f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i)\varphi(a_j)(gcd(a_i,a_j)==d)dist(i,j)\]
假装有：
\[F(x)=\sum_{x|d}f(d)\]
我们考虑求解\(F(x)\)
不难发现
\[F(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\varphi(a_i)\varphi(a_j)[x|gcd(a_i,a_j)]dist(i,j)\]
且有：
\[f(x)=\sum_{x|d}F(d)*\mu(\dfrac{d}{x})\]
可以发现涉及到的点可以直接枚举出来，而且因为\(a\)为\(1-n\)的排列，所以涉及到的点的总数应该是可以由调和级数得到为\(O(n\log n)\)的
于是我们枚举\(x\)，对于所有\(x|d\)的点拿下来建虚树，中间那个艾弗森括号就可以忽略了
现在式子变成，给的\(m\)个点，点有点权，求：
\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mv_i*v_j*dist(i,j)\]
\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mv_i*v_j*(dep_i+dep_j-2*dep_{lca})\]
设\(s=v_i*v_j\)
\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^ms*dep_i+s*dep_j-2*s*dep_{lca}\]
我们将其拆成\(3\)个\(\sum\)的形式
\[\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mv_i*v_j*dep_i+\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mv_i*v_j*dep_j-2\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mv_i*v_j*dep_{lca}\]
不难发现前面两个是相同的
\[2\sum_{i=1}^mv_i*dep_i\sum_{j=1}^mv_j-2*\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mv_i*v_j*dep_{lca}\]
前面那个显然是可以\(O(m)\)预处理出来的
于是问题的关键就在于后面那一坨
我们考虑在虚树上\(dp\)，可以发现只需要在\(lca\)处合并答案即可，所以记\(dp_i\)表示\(i\)内部的子树权值总和即可，复杂度同样\(O(m)\)
当然建立虚树的复杂度是带\(\log\)的，所以总复杂度为\(O(n\log^2n)\)
qwq
#include
using namespace std;
#define Next( i, x ) for( register int i = head[x]; i; i = e[i].next )
#define rep( i, s, t ) for( register int i = s; i <= t; ++ i )
#define re register
#define int long long
int gi() {
char cc = getchar(); int cn = 0, flus = 1;
while(cc < '0' || cc > '9') { if( cc == '-' ) flus = -flus; cc = getchar(); }
while(cc >= '0' && cc <= '9') cn = cn * 10 + cc - '0', cc = getchar();
return cn * flus;
}
const int N = 4e5 + 5 ;
const int P = 1e9 + 7 ;
int n, cnt, head[N], w[N], rev[N], vis[N], dp[N], Ans ;
int phi[N], mu[N], p[N], F[N], f[N], top, s[N] ;
int dfn[N], Fa[N], dep[N], sz[N], Son[N], Top[N], idnex ;
bool isp[N] ;
struct E {
int to, next ;
} e[N * 2] ;
void add( int x, int y ) {
e[++ cnt] = (E){ y, head[x] }, head[x] = cnt ,
e[++ cnt] = (E){ x, head[y] }, head[y] = cnt ;
}
void init() {
mu[1] = 1, phi[1] = 1 ; rep( i, 2, n ) {
if( !isp[i] ) phi[i] = i - 1, mu[i] = -1, p[++ top] = i ;
for( re int j = 1; j <= top && p[j] * i <= n; ++ j ) {
isp[i * p[j]] = 1 ;
if( i % p[j] == 0 ) { phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j] ; break ; }
phi[i * p[j]] = phi[i] * phi[p[j]], mu[i * p[j]] = - mu[i] ;
}
}
}
inline void dfs( int x, int fa ) {
dfn[x] = ++ idnex, Fa[x] = fa, dep[x] = dep[fa] + 1, sz[x] = 1 ;
Next( i, x ) {
int v = e[i].to ; if( v == fa ) continue ;
dfs( v, x ), sz[x] += sz[v] ;
if( sz[v] > sz[Son[x]] ) Son[x] = v ;
}
}
inline void dfs2( int x, int high ) {
Top[x] = high ;
if( Son[x] ) dfs2( Son[x], high ) ;
Next( i, x ) {
int v = e[i].to ; if( v == Fa[x] || v == Son[x] ) continue ;
dfs2( v, v ) ;
}
}
inline int LCA( int x, int y ) {
while( Top[x] != Top[y] ) {
if( dep[Top[x]] < dep[Top[y]] ) swap( x, y ) ;
x = Fa[Top[x]] ;
}
return ( dep[x] < dep[y] ) ? x : y ;
}
inline void Dp( int x, int fa ) {
if( vis[x] ) Ans = ( Ans + 2 * phi[w[x]] * phi[w[x]] * dep[x] % P ) % P, dp[x] = phi[w[x]] ;
Next( i, x ) {
int v = e[i].to ; if( v == fa ) continue ;
Dp( v, x ), Ans = ( Ans + 4 * dp[x] * dp[v] % P * dep[x] % P ) % P,
dp[x] = ( dp[x] + dp[v] ) % P, dp[v] = 0 ;
}
head[x] = 0 ;
}
int fpow( int x, int k ) {
int ans = 1, base = x ;
while( k ) {
if( k & 1 ) ans = ( ans * base ) % P ;
base = ( base * base ) % P, k >>= 1 ;
}
return ans ;
}
int K[N], tot ;
bool cmp( int x, int y ) {
return dfn[x] < dfn[y] ;
}
void insert( int x ) {
if( top == 1 && x != 1 ) { s[++ top] = x; return ; }
int lca = LCA( s[top], x ) ; if( lca == x ) return ;
while( top > 1 && dfn[s[top - 1]] > dfn[lca] ) add( s[top - 1], s[top] ), -- top ;
if( dfn[lca] < dfn[s[top]] ) add( lca, s[top] ), -- top ;
if( dfn[lca] > dfn[s[top]] ) s[++ top] = lca ;
s[++ top] = x ;
}
void input() {
n = gi(), init(), top = 0 ;
rep( i, 1, n ) w[i] = gi(), rev[w[i]] = i ;
rep( i, 2, n ) add( gi(), gi() ) ;
dfs( 1, 1 ), dfs2( 1, 1 ), memset( head, 0, sizeof(head) ) ;
}
void solve() {
rep( i, 1, n ) {
if( i > n / 2 ) break ;
int Re = 0, Sum = 0 ;
for( re int j = i; j <= n; j += i ) {
vis[rev[j]] = 1, Sum = ( Sum + phi[j] * dep[rev[j]] % P ) % P,
Re = ( Re + phi[j] ) % P, K[++ tot] = rev[j] ;
}
sort( K + 1, K + tot + 1, cmp ), s[top = 1] = 1 ;
rep( i, 1, tot ) insert( K[i] ) ;
while( top > 1 ) add( s[top - 1], s[top] ), -- top ;
Sum *= Re, Sum %= P, Dp( 1, 1 ), dp[1] = head[1] = 0, F[i] = ( Sum * 2 - Ans + P ) % P ;
for( re int j = i; j <= n; j += i ) vis[rev[j]] = 0 ; Ans = 0, tot = 0, cnt = 0 ;
}
}
void Get_F() {
rep( i, 1, n ) for( re int j = i; j <= n; j += i )
f[i] += F[j] * mu[j / i], f[i] = ( f[i] + P ) % P ;
rep( i, 1, n ) Ans = ( Ans + i * fpow( phi[i], P - 2 ) % P * f[i] ) % P ;
int Ks = Ans * fpow( n, P - 2 ) % P ; Ks = Ks * fpow( n - 1, P - 2 ) % P ;
printf("%I64d\n", ( Ks + P ) % P ) ;
}
signed main()
{
input(), solve(), Get_F() ;
return 0 ;
}