2019-02-11至2019-02-17本周总结

这周主要完成的学习任务是常见的概率分布、区间估计、假设检验、线性回归、梯度下降和逻辑回归的原理以及公式推导【这部分已经总结过】
关于区间估计和假设检验，在概念理解上有新的收获，理一下思路吧。
点估计
点估计：直接用样本指标作为总体指标的估计值【比如用样本均值来估计总体均值】
关于样本抽样的两个假设：
1）如果总体服从的正态分布，那么无论样本容量是多少，均有样本均值
2）如果总体不服从正态分布，那么当样本容量足够大时（），样本均值近似地服从的正态分布【中心极限定理】
区间估计
但是通常情况下，总体指标并不等于样本指标，为了提高估计的精确性，利用区间估计来给出总体指标的估计范围【在点估计的基础上加减一个边际误差】
例子：
最近一周，某百货公司调查了100名客人，得到他们的消费金额均值，公司希望通过这100名客人来估计消费金额的总体均值。【置信度为95%】

由题可知

分两种情况：

第一种由历史数据得出该公司的消费金额总体标准差【已知】

总体均值有95%的概率在区间内【统计量服从标准正态分布】

注：表示上侧【右侧】面积为时统计量的值

第二种未知总体标准差的值

总体均值有95%的概率在区间内【统计量服从自由度为的分布】

假设检验
假设检验：用来确定是否应该拒绝关于总体参数值的方法
围绕两类错误展开
第一类错误：原假设为真，却拒绝了
第二类假设：原假设为假，却接受了
将只控制第一类错误的假设检验称为显著性检验【无法控制第二类错误】，同时当原假设为真且以等号形式出现时，此时犯第一类错误的概率称为显著性水平【】。
注：显著性检验只能得出两个结果：拒绝或者不能拒绝，没有接受这种说法，一旦接受，就要承担范第二类错误的风险。
总体均值检验
1）总体标准差已知
总体均值的单侧检验
例子：，假设总体服从正态分布
已知
检验统计量：，用来确定是否偏离足够远【足够小】，从而可以拒绝原假设。
检验方法：
值法，看面积大小【值越小（小于），越要拒绝原假设】
此时的，，因此拒绝原假设。
临界值法，看值的位置
计算临界值：.,直接查表查不到，利用对称性得到,所以临界值为-2.33，此时的，因此应该拒绝原假设。
其实，假设检验和区间估计是一致的，假设检验计算此时统计量的值是否在接受域【区间估计】内，无论是值法还是临界值法，都可以转化为该值是否在接受域内【当前值越向尾端靠近，越远离区间估计的边界点（临界点）】
总体均值的双侧检验
例子：，假设总体服从正态分布，已知
检验统计量：，用来确定是否偏离足够远【足够小或者足够大】，从而可以拒绝原假设。
检验方法：
值法
此时的，.，因此不能拒绝原假设。
临界值法
计算临界值：,
即，
所以,此时的【在区间估计内】，因此不能拒绝原假设。
2）总体标准差未知
方法与总体标准差已知的情况类似，只是，统计量换成
总体均值的单侧检验
例子：，已知
值法
此时的，，拒绝原假设。用Python计算这里的
一种是用t检验的方法，直接输入60个样本

image.png

注：这里的p值是双侧检验的结果，根据对称性，单侧检验的p值为0.035
另一种是根据算出来的1.84计算分布函数的值

image.png

临界值法
临界值

此时的

在拒绝域内，拒绝原假设。用Python计算这里的临界值

image.png

总体均值的双侧检验
例子：

已知

此时的

临界值

所以不能拒绝原假设
以上均是围绕控制第一类错误的目的展开的
下面考虑如何 计算第二类错误的发生概率问题
例子：

已知

统计量

临界值

以下条件成立

拒绝原假设，反之

，接受原假设，此时需要考虑犯第二类错误的概率【 原假设为假的基础上，接受原假设的概率】
假设总体均值的真实值为112【原假设为假】，此时接受原假设的概率等于

再做一下这个例子的第二类错误发生的概率
例子：

已知

上面已经计算过，无法拒绝原假设，考虑接受原假设的问题【如果拒绝原假设，就不用考虑第二类错误的发生概率了】
临界值

还要加上-2.064【对称性】
以下式子成立

接受原假设
假设总体均值的真实值为36【原假设为假】，此时接受原假设的概率等于