NOIP提高组初赛难题总结
约定:
- 若无特殊说明，本文中未知数均为整数
- [表达式] 表示：在表达式成立时它的值为1,否则值为0
- x!表示x的阶乘
- 整数除法无特殊说明，默认下取整
阅读程序
1.[NOIP2018]提高组阅读程序3
#include
using namespace std;
const int N = 110;
bool isUse[N];
int n, t;
int a[N], b[N];
bool isSmall(){
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (a[i] != b[i]) return a[i] < b[i];
return false;
}
bool getPermutation(int pos){
if (pos > n){
return isSmall();
}
for (int i = 1; i <= n; ++i){
if (!isUse[i]){
b[pos] = i; isUse[i] = true;
if (getPermutation(pos + 1)){
return true;
}
isUse[i] = false;
}
}
return false;
}
void getNext(){
for (int i = 1; i <= n; ++i){
isUse[i] = false;
}
getPermutation(1);
for (int i = 1; i <= n; ++i){
a[i] = b[i];
}
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &t);
for (int i = 1; i <= n; ++i){
scanf("%d", &a[i]);
}
for (int i = 1; i <= t; ++i){
getNext();
}
for (int i = 1; i <= n; ++i){
printf("%d", a[i]);
if (i == n) putchar('\n'); else putchar(' ');
}
return 0;
}
输入1：6 10 1 6 4 5 3 2
输入2：6 200 1 5 3 4 2 6 答案:
输出1：2 1 3 5 6 4
输出2：3 2 5 6 1 4分析:
首先我们看出，这是求
第一问可以直接模拟，第二问直接模拟循环次数太多，可以用康托展开求解。先介绍一下康托展开:
知识点补充:康托展开
康托展开:把全排列按字典序排序，给出一个长度为n的全排列，求它是第几个长度为n的全排列。
我们以1 5 3 4 2 6 为例,先求字典序比它小的全排列有多少个
- 第1位是1,没有第一位比它小的全排列
- 第2位是5,后面的位里比它小的有2,3,那么以2,3作为第二位的全排列一定比它的字典序小。又因为第1位就小的全排列已经算过了,我们只需要算第1位为1,第2位为2或3的全排列数量。第1位固定，第2位2种排法后面4位可以任意排，有4!种。故答案为2*4!
- 第3位是3,后面比它小的有2,根据上一问的结论，答案为1*3!
- 第4位是4,后面比它小的有2,同理答案为1*2!
- 第5位是2,后面没有比它小的数,答案为0*1!
- 由于前5位已经确定，可以直接推出第6位，所以这一位不用考虑，为0
- 比它小的排列有\(2*4!+1*3!+1*2!+0*1!=80\)个，所以它是第81个排列
综上，我们可以给出康托展开的公式.给出一个长度为n的序列\(a\)，\(a\)在排列中的个数为
\[\sum_{i=1}^n f(i)\times(i-1)! \\ f(i)=\sum_{j=i+1}^n[a_j
逆康托展开:把全排列按字典序排序，求长度为n的全排列中,第k个全排列
我们以k=281,n=6为例。
- 我们求小于它的排列的个数，即281-1=280.设S表示当前还未确定位置的数的集合。初始时S={1,2,3,4,5,6}
- \(280/5!=2\cdots\cdots40\),S={1,2,3,4,5,6}那么我们要找S集合中小于它的数有2个的数，即S集合中的第3个数3. 那么排列的第1位为3,把3移出S
- \(40/4!=1\cdots\cdots16\),S={1,2,4,5,6},同理，排列的第2位为S集合中的第1+1个数2,
- \(16/3!=2 \dots \dots 4\),S={1,4,5,6},排列的第3位为5
- \(4/2!=2 \cdots \cdots 0\),S={1,4,6},排列的第4位为6
- \(0/1!=1 \cdots \cdots 0\),S={1,4} 排列的第5为为1
- 最后一位就是S集合中剩下的那个数，为4
- 综上，排列为3 2 5 6 1 4
那么对于这道题，我们只需要先对1 5 3 4 2 6做康托展开，加上200，再逆康托展开即可
2.[NOIP2017]普及组阅读程序4
#include
using namespacestd;
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
int x = 1;
int y = 1;
int dx = 1;
int dy = 1;
int cnt = 0;
while (cnt != 2) {
cnt = 0;
x = x + dx;
y = y + dy;
if (x == 1 || x == n) {
++cnt;
dx = -dx;
}
if (y == 1 || y == m) {
++cnt;
dy = -dy;
}
}
cout << x << " " << y<< endl;
return 0;
}
输入1: 4 3
输入2: 2017 1014 答案:
输出1: 1 3
输出2: 2017 1分析:
同样也是第1问模拟，第二问找规律。
发现\(x,y\)坐标的移动可以分离来考虑。x相当于长度为n-1的线段上的一个动点，从坐标1出发到坐标n不停往返。y相当于长度为m-1的线段上的一个动点，从1出发到m不停往返。两动点的速度相等.当某个时刻，两动点同时到达边界(坐标1或n,m)的时候结束.
容易发现，相遇的时候走的距离为为\(s=\mathrm{lcm} (n-1,m-1)\)
以从1到n或从n到1为走了一次，那么x走了\(\frac{s}{n-1}\)次,y走了\(\frac{s}{m-1}\)次。当\(\frac{s}{m-1}\)为偶数时恰好回到起点，输出1.否则输出n(或m）.
以\(n=2017,m=1014\)为例,\(n-1=2016,m-1=1013,s=2016\),\(s/(n-1)=1\),为奇数，因此输出2017.\(s/(m-1)=2\)为偶数,因此输出1
问题求解
小陈现有2个任务A,B要完成,每个任务分别有若干步骤如下：A=a1->a2->a3,B=b1->b2->b3->b4->b5.在任何时候,小陈只能专心做某个任务的一个步骤.但是如果愿意,他可以在做完手中任务的当前步骤后,切换至另一个任务,从上次此任务第一个未做的步骤继续.每个任务的步骤顺序不能打乱,例如……a2->b2->a3->b3……是合法的,而……a2->b3->a3->b2……是不合法的.小陈从B任务的b1步骤开始做,当恰做完某个任务的某个步骤后,就停工回家吃饭了.当他回来时,只记得自己已经完成了整个任务A,其他的都忘了.试计算小陈饭前已做的可能的任务步骤序列共有多少种.
答案：70
首先因为第一个做b1,完成了a.我们先构建原始的序列b1->a1->a2->a3,然后再把b2->b3->b4->b4中的几个插进去，保证这几个顺序递增。可以插在b1后的4个空里。
因为必须要按顺序插进去，我们可以把b2,b3,b4看成无标号的来求方案数。相当于把m个球放到n个位置上，每个位置的球数>=0.根据插板法，答案是\(C_{n+m-1}^{n-1}=C_{n+m-1}^m\),此题中\(n=4\),所以\(C_{m+3}^m\)
最终答案是\(\sum_{m=1}^4 C_{m+3}^m=70\)
现有一只青蛙，初始时在 n 号荷叶上。当它某一时刻在 k 号荷叶上时，下一时刻将等概 率地随机跳到 1, 2, …, k 号荷叶之一上，直至跳到 1 号荷叶为止。当 n = 2 时，平均一共跳 2 次；当 n = 3 时，平均一共跳 2.5 次。则当 n = 5 时，平均一共跳几次。
答案：\(\frac{37}{12}\)
其实就是期望跳的次数.设\(f_i\)表示已经跳到i号荷叶，期望跳到1号荷叶的次数。
那么\(f_1=0\)
\(f_2=\frac{1}{2}(f_1+f_2)+1\).因为在2号荷叶，下一步跳到1和2的概率均为1/2,根据期望的线性性。答案就是1和2荷叶跳到终点的期望次数之和乘1/2，再加上1步。因为\(f_1\)已知，可以解出\(f_2=2\)
同理有
\(f_3=\frac{1}{3}{(f_1+f_2+f_3)}+1\)
\(f_4=\frac{1}{4}{(f_1+f_2+f_3+f_4)}+1\)
\(f_5=\frac{1}{5}{(f_1+f_2+f_3+f_4+f_5)}+1\)
最终可以解出\(f_5=\frac{37}{12}\)
将2006 个人分成若干不相交的子集,每个子集至少有 3 个人,并且:
(1)在每个子集中,没有人认识该子集的所有人.
(2)同一子集的任何 3 个人中,至少有 2 个人互不认识.
(3)对同一子集中任何 2 个不相识的人,在该子集中恰好只有 1 个人认识这两个人.则满足上述条件的子集最多能有___________个
答案：401
转化成图论。每个人看成点，每个相识关系看作一条边。那么条件就变成了。
- 没有一个结点与其他所有点相连
- 每个子集中,任何三个结点中,至少两个不相连
- 同一子集中的任意不直接相连的两点,彼此之间有只通过一个结点的路径
然后尝试从小到大枚举每个子集的点数和边数。发现5个点时，连成一个五边形恰好满足条件。那么每5个人分一组，答案就是401.
从 1 到 2018 这 2018 个数中，共有__个包含数字8的数
答案:544
因为可能包含多个数字8，容易算重。考虑补集转化，求不包含数字8的数字个数。
一位数：8个
两位数：$8 \times 9 $个
三位数：\(8 \times 9 \times 9\)个
四位数,[1000,1999]之内的:\(1\times 8 \times 9 \times 9\)个
四位数,[2000,2018]内的,2008,2018两个
以上一共是1474个。答案为：2018-1474=544个
某个国家的钱币面值有1，7，7^2，7^3共计四种，如果要用现金付清10015元的货物，假设买卖双方各种钱币的数量无限且允许找零，那么交易过程中至少需要流通______张钱币。
答案:35
首先我们应该优先用面值尽量大的
\(10015/343=29 \dots \dots 68\),所以用29张7^3的
\(68 /49 =1 \dots 19\),所以用1张7^2的
19可以用2张7元+5张1元凑出，但是这样不如给对方3张7元再找回2张1元，只需要5张货币。
总共29+1+5=35
书架上有21本书，编号从1 到 21 从中选4 本，其中每两本的编号都不相邻的选法一共有__种
答案:3060
反着考虑，先放好另外17本书，再把4本插进去.18个空选4个，答案是\(C_{18}^4=3060\)
一个人站在坐标(0, 0)处，面朝x轴正方向。第一轮，他向前走1单位距离，然后右转；第二轮，他向前走2单位距离，然后右转；第三轮，他向前走3单位距离，然后右转......他一直这么走下去。请问第2017轮后，他的坐标是__
答案:(1009,1008)
找规律:第1步，X轴+1，第2步，Y轴-2，第3步X轴-3，第4步，Y轴+4，第5步，X轴+5，...，(x轴每变化4次都为0)
假设走的步数为n，$n \mathrm{mod} 4 $余1是X轴+n，余2是Y轴-n，余3是X轴-n，余0是Y轴+n，2017%4=1，2016%4=0，
所以x轴是1-3+5-7+9...+2017=1-3+5-7+9...-2015+2017=1009，*
y轴是-2+4-6+8-10...+2016=1008。所以最终坐标是（1009，1008）