数论篇4——逆元（数论倒数）

问题引入

对于取余运算，有一下一些性质：

 

但是唯独除法是不满足的：

 

 为什么除法错的呢？很好证明：

 

 而对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们就需要逆元了。

逆元

定义：

 

对于c，在数值上就不一定等于我们常规意义上的倒数了，我们可以理解为要求在0,1,2……p-1之间找一个数，是的这个数和a相乘后再取模p，得到的结果为1。

现在就要在回到刚才的问题了，除以一个数等于乘上这个数的倒数，在除法取余的情况下，就是乘上这个数的逆元，即：

 

这样就把除法，完全转换为乘法了。

逆元的求解

对于逆元的求解，如果n较小的话，是容易算出来的，例如，求3在模26下的逆元：

但是当n非常大的时候，手动求解就非常困难了。

（1）扩展欧几里得算法（extend_gcd）

模数可以不为质数，满足gcd(a,b)=1即可

定义：

对于逆元的表达式可以做一些变换：

 

 当gcd(a,b)=1时，代入extend_gcd(a,b,x,y)，得到的非负的x值，就是上面的a^-1

int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int q = extend_gcd(b, a % b, x, y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return q;
}

（2）费马小定理

只适用于模数为质数的情况 

如果p是一个质数，且a不是p的倍数则有

 

两边同除以 a

所以

 

用快速幂求一下，复杂度O(logn)

（3）线性递推逆元（神奇小饼干法）

只适用于模数为质数的情况

当p为质数时有

证明：

 

写成算法就是一个递归，到1为止，因为1的逆元就是1

int inv(int t, int p) {
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}

这个方法复杂度是O(n)，但并不是说比前两个差，它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元，上面的算法加一个记忆性搜索就行了

int inv(int t, int p) {
    return INV[t] = t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}