集合是现代数学的理论基础,是学好数学的重要工具性知识,集合语言具有叙述准确、高度概括、清晰简要的特点,是数学各个分支的基本语言,集合是高考必考的考点之一,题型一般是客观题,通常考查集合的概念、集合间的关系及其集合的运算以及以集合为背景的创新问题.
考点1：集合的基本概念
例1 (1)( 2016—2017学年福建莆田八中高一上学期期中考)下列集合中表示同一集合的是( )
（A）M={(3,2)},N={(2,3)}（B）M={4,5},N={5,4}
（C）M={(x,y)|x＋y=1},N={y|x＋y=1}（D）M={1,2},N={(1,2)}
(2)(2017年安徽省合肥一中月考)已知集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a＋b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )
（A）3（B）4（C）5（D）6
(3)( 2016—2017学年河南省滑县二中高一上学期10月月考)已知f(x)=x2－ax＋b(a、b∈R)，A=
{x∈R|f(x)－x=0},B={x∈R|f(x)－ax=0},若A={1,－3},试用列举法表示集合B.
分析：本题(1)判断集合M,N中的元素是否一样；(2)根据a∈A,b∈B列举出所有a＋b的值,结合元素互异性求解；(3)通过一元二次方程根与系数关系确定a,b值,得出函数f(x)解析式,求出集合B中元素.
解：(1)对于选项A,M中元素是点(3,2),N中元素是点(2,3),元素不同；
B中M和N的元素相同,两个集合相等；
对于选项C,M表示直线y=－x＋1,N中表示函数y=－x＋1的函数值的集合,元素不同；
对于选项D,M中的元素是数1和2,N中的元素是点(1,2),元素不同.
故选B.
(2)当a=1,b=4,5时,则a＋b=5,6；当a=2,b=4,5时,则a＋b=6,7；当a=3,b=4,5时,则a＋b=7,8.
所以M中元素有5,6,7,8共4个.故选B.
(3)方程f(x)－x=0,即为x2－(a＋1)x＋b=0,
由A={1,－3},则x=1,x=－3是方程x2－(a＋1)x＋b=0的两个根.
由根与系数的关系,知解得a=－3,b=－3,所以f(x)=x2＋3x－3.
方程f(x)－ax=0，即x2＋6x－3=0，解得x=－3－2或x=－3＋2,
所以B={－3－2,－3＋2}．
[评注]解决集合概念问题,首先应明确集合中元素的性质,是数集、还是点集，是方程的解集、还是不等式的解集等.此外,要把握元素的特性,特别是互异性,善于利用互异性找到解题的切入点,同时还应善于通过检验是否满足互异性以确保答案正确.
考点2：集合间的基本关系
例2(1) (2016—2017学年河南周口市中英文学校高一上学期月考)已知集合M={y|y=x2－1,x∈R},P={x|x=|a|－1,a∈R},则集合M与P的关系是( )
（A）M=P（B）M≠P（C）MP（D）MP
(2)(2016年福建省福州市五校联考)设集合A满足{a}A{a,b,c,d},则满足条件的集合A的个数是( )
（A）4（B）5（C）6（D）7
(3)( 2016—2017学年陕西省延川县中学高一上学期期中)设集合A={x|－2≤x≤5},B={x|m＋1≤x≤2m－1},且BA,则实数m的取值范围是______.
分析：本题(1)首先分别化简集合M,P,然后依据集合关系的相关定义判断；(2)根据子集与真子集的定义写出所有满足条件的集合A；(2)由B⊆A,分B=与B≠两种情况讨论, B≠时结合数轴求解.
解：(1)M={y|y≥－1},P={x|x≥－1},依据两个集合相等定义可知M=P.故选A.
(2)根据子集与真子集的定义可知,集合A中必含有元素a,而且含有a,b,c,d中的至多三个元素,
因此满足条件的集合A有{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},共7个.故选D.
(3)B⊆A时有如下两种情况：
① 当B=时,即2m－1＜m＋1,解得m＜2.
② 当B≠时,由B⊆A得解得2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是m≤3.
[评注]判断两个集合的关系,首先明确集合中元素,再利用元素的特征判断集合间的关系；书写集合的子集或真子集时,需按一定顺序书写,以免遗漏；已知两个集合之间的关系求参数值时,应明确集合中的元素属性,对子集是否为空集进行分类讨论.若集合为不等式的解集,应注意结合数轴数形结合及其端点函数值能否取到.
考点3：集合的基本运算
例3(1)(2016年江苏省南京市二模)已知集合A={2a,3},B={2,3},若AB={1,2,3},则实数a的值为 .
(2)(2016年东北三省四市一模)已知全集U=R,集合A={x|x＜－1或x＞4},
B={x|－2≤x≤3},则阴影部分表示的集合为( )
（A）{x|－2≤x＜4}（B）{x|x≤3或x≥4}
（C）{x|－2≤x≤－1}（D）{x|－1≤x≤3}
(3)（2016—2017学年甘肃天水市清水六中高一数学上学期期中）已知集合A={x|－2＜x＜3},B={x|m＜x＜m＋9}.
①若AB=B,求实数m的取值范围；
②若AB≠,求实数m的取值范围.
分析：本题(1)根据集合并集的定义分析可知2a=1，进而求a值；(2)首先分析图形,得出阴影部分为(CUA)B,然后运算；(3)首先将AB=B转化为AB,然后结合数轴列不等式求解.
解：(1)依据集合并集定义可知2a=1,a=0.故答案填0.
(2)阴影部分所表示的集合为(CUA)B={x|－1≤x≤4}{x|－2≤x≤3}={x|－1≤x≤3}.故选D.
(3) ①由AB=B得AB,则解得－6≤m≤－2.
故实数m的取值范围是{m|－6≤m≤-2}.
②当AB≠,所以集合A,B有公共元素,则解得－11＜m＜3.
即实数m的取值范围是{m|－11＜m＜3}.
[评注]在进行集合的运算时,首先把所给集合化为最简形式,然后利用相关定义求解.必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化,并注意分类讨论、数形结合的思想方法的应用,此外涉及AB=A或AB=B问题,一般转化为集合子集关系求解.
考点4：集合新定义问题
例4(2016年山东青岛检测)若X是一个集合,是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足：①X属于,空集属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于,则称是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合：
①={,{a},{c},{a,b,c}}；
②={,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}；
③={,{a},{a,b},{a,c}}；
④={,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.
其中是集合X上的一个拓扑的集合的所有序号是 .
分析：根据是集合X上的拓扑的定义,逐个检验判断.
解：对于①,因为{a}{c}={a,c},故①中的不是集合X上的拓扑；②满足集合X上的拓扑的定义；对于③，因为{a,b}{a,c}={a,b,c},故③中的不是集合X上的拓扑；④满足集合X上的拓扑的定义.故填②④.
[评注]解决集合新定义问题,首先应紧扣新定义,把新定义叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程；其次要用好集合的性质(概念、元素性质、运算性质),善于与所学过的类似性质类比,这是破解新定义型集合问题的突破口；最后还要善于利用图形和特殊值,借助其直观性和正难则反进行转化.
本文《数学周报》人教版A版必修1