[CSP-S模拟测试]:玩具(概率DP)

题目描述

  这个故事发生在很久以前,在$IcePrincess\text{_}1968$和$IcePrince\text{_}1968$都还在上幼儿园的时候。
  $IcePrince\text{_}1968$最近迷上了一种玩具,这种玩具中有两种零件:圆球和棍子。棍子的两头可以插在两个圆球上的各一个空洞中,从而将两个圆球连接起来。为了保证玩具的娱乐性,任意一个圆球上的空洞个数总是多于玩具套装中的棍子数。你可以认为圆球是没有体积的,所有棍子的长度均为$1$。
  $IcePrince\text{_}1968$喜欢这样玩这种玩具:他先摸出玩具袋里的一个圆球放在地上,然后重复下面的操作$n-1$次:每次从袋中取出一个圆球和一根棍子,然后等概率的从地上的圆球中选择一个,将该圆球和选择的圆球用棍子连起来,使得新的圆球在选中圆球的正上方。
  $IcePrince\text{_}1968$对自己搭出的艺术品很满意,便决定把这个物品送给$IcePrincess\text{_}1968$作为生日礼物。然而生日礼物是需要包装的,因为默认圆球没有体积,所以$IcePrince\text{_}1968$不用考虑包装盒的长和宽,但是包装盒的高是需要确定的,这里我们假设$IcePrince\text{_}1968$是一个非常节俭的孩子,所以包装盒的高总是等于艺术品的高度。$IcePrince\text{_}1968$想知道自己需要的包装盒的高的期望对质数$p$取模后的值,但他还在上幼儿园,怎么会算呢,于是就请你来帮助他。


输入格式

  输入文件名为$toy.in$。
  输入数据仅一行,包含两个正整数$n,p$,表示最终的艺术品中圆球的个数和模数$p$。


输出格式

  输出文件名为$toy.out$。
  输入文件仅一行,一个正整数,表示包装盒的高的期望对质数$p$取模后的值。


样例

样例输入:

3 998244353

样例输出:

499122178


数据范围与提示

样例解释:

三个圆球组成的艺术品,高度只可能是$1$或者$2$,所以高度的期望是$1.5$,在模$998244353$下的期望是$499122178$。

数据范围:

对于$30\%$的数据,满足$n\leqslant 10,p\leqslant 1,000,007$;
对于$50\%$的数据,满足$n\leqslant 20$;
对于$70\%$的数据,满足$n\leqslant 50$;
对于$100\%$的数据,满足$n\leqslant 200,p\leqslant 1,000,000,007$,$p$是质数。


题解

超级神奇的$DP$,先作出如下定义:

  $\alpha.$设$dp[i][j]$表示$i$个点的森林,有$j$个点在第一棵树的概率。

  $\beta.$设$f[i][j]$表示有$i$个点的树,深度不超过$j$的概率。

  $\gamma.$设$g[i][j]$表示有$i$个点的森林,深度不超过$j$的概率。

那么,先考虑如何求出$dp$数组,有:

$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\times\frac{j-1}{i}+dp[i-1][j]\times\frac{i-j}{i}$$

初始化$dp[1][1]=1$。

解释一下,式子的前一半是将新加入的点放入了第一棵树,那么它可以接到$(j-1)$个点上, 后一半是将新加入的这个点放入了除第一棵树外的其它树上(也可以新建一棵树),分母是$i$而不是$(i-1)$的是由于这个点可以新建一棵树,也就是相当于跟谁也没有相接。

接着考虑一个式子:

$$f[i][j]=g[i-1][j-1]$$

化个图你就理解了$\downarrow$

[CSP-S模拟测试]:玩具(概率DP)_第1张图片

$$\Downarrow$$

[CSP-S模拟测试]:玩具(概率DP)_第2张图片

也就是说,我们加了一个点,让这棵森林中的所有树都连到了这个节点上。

再来考虑如何求出$g$数组:

$$g[i][j]=\sum \limits_{k=1}^if[k][i]\times g[i-1][j]\times dp[i][k]$$

这相当于是在$i$个点中选取了$k$个点组成第一棵树,剩下$k$个点还是一个森林,$dp[i][k]$相当于是系数,也就是这第一棵树的形态数。

最后,因为$f$数组的意义是$f[i][j]$有$i$个点的树,深度不超过$j$的概率;所以我们需要知道深度恰好为$j$的概率,即为$f[n][j]-f[n][j-1]$。

将每一个深度的概率乘上其深度再加和即为答案。

时间复杂度:$\Theta(n^3)$。

期望得分:$100$分。

实际得分:$100$分。


代码时刻

#include
using namespace std;
int n,p;
long long inv[201];
long long dp[201][201],f[201][201],g[201][201];
long long ans;
long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%p;
		x=x*x%p;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&p);
	dp[1][1]=f[1][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=qpow(i,p-2);
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]*(j-1)%p+dp[i-1][j]*(i-j)%p)*inv[i]%p;
	for(int i=0;i<=n;i++)g[0][i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			if(j)f[i][j]=g[i-1][j-1];
			for(int k=1;k<=i;k++)g[i][j]=(g[i][j]+f[k][j]*g[i-k][j]%p*dp[i][k]%p)%p;
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+(f[n][i]-f[n][i-1]+p)%p*i%p)%p;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

rp++

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