Biostatistics(12)常见分布：t分布、卡方分布、F分布

t分布

t分布又可以被称为学生t分布。其由Wiliam Sealy Gosset在1908时发现，t分布与样本大小n相关，确切地是与自由度df=n-1相关。

t分布

t分布与正态分布相似，是对称的，但是其比正态分布宽，当样本数量增加，t分布会接近正态分布。
我们可以利用R更加直观地了解t分布：

>qt(0.025,df=29)
[1] -2.04523
> qt(0.975, df=29)
[1] 2.04523
> qt(0.05, df=29)
[1] -1.699127
> qt(0.95, df=29) 
[1] 1.699127

Using R to obtain statistics about t-distribution

置信区间的估计

置信区间

例：Gene expression example
t_29,0.025 = 2.045230, s = 1.893954, n = 30, X ̄ = 6.495324，求其95%置信区间
根据公式可计算得置信区间为：[5.78811, 7.202538]

例: sample 25 plants and measure their heights, if the sample mean is 15cm, with a variance of 16cm2. What is the 95% confidence interval of the population mean?

Chi-square卡方分布

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从[标准正态分布]（也称独立同分布于标准[正态分布]），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。（来源：百度百科）

卡方分布

卡方分布不是对称的，其与自由度df有关

对于任意的正态分布，我们都能够用Z变化将其变成标准正态分布：

如果我们使用样本平均数取代总体平均数，我们将会失去一个自由度：

置信区间

置信区间

例：Recall we randomly chose 30 genes, and compute the sample
variance s^2 = 3.587062, df =29

F分布

有两个独立的正态分布N(μ1,σ12)和 N(μ2,σ22).如果我们对这两个总体进行抽样，获得的样本方差为s1²和s2²，那么它们遵循F分布：

F分布