程序员的数学I

排列组合II

• 思考：从5张牌中任意取出3张进行排列(permutation)，请问有多少种排列方法？

1. 排列和置换相同，是考虑顺序的，比如QKA和AKQ是两个不同的排列
2. 按照如下计算方式：
   • 第1张的取法有5种
   • 第2张的取法有4种
   • 第3张的取法有3种

由此可得，5 x 4 x 3 = 60

归纳一下

排列的归纳方法： 假设从n张牌中取出k张牌进行排列

• 第1张是从n张中取出1张，因此有n种取法
• 第2张是从n-1张中取出1张，因此有n-1种取法
• 第3张是从n-2张中取出1张，因此有n-2种取法
• 第k张是从n-k+1中取出1张，因此有n-k+1种取法
  因此，总数是 n x (n-1) x (n-2) x ... x (n-(k-1))

其实用树形图更能认清楚计数过程的本质

计数的层次就是一个递减的过程

组合

置换和排列都需要考虑顺序，而不考虑顺序的方法称为“组合”
假设现在有1,2,3,4,5五张牌，从5张牌中抽取3张，并不考虑他们的顺序，即以3张牌为1组进行选择，重复的视为同一组，例如：123和321和213，所以取法一共有10种
这种取法称为“组合”(combination)

• 首先，和排列一样“考虑顺序”进行计数
• 除以重复技术的部分（重复度）
• 所以：组合总数=5张里面取3张的排列总数/3张的置换总数)
  5 x 4 x 3 / (3 x 2 x 1) = 10

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结论 置换和组合相结合，就是排列。

• 置换表示3张牌的交替排列方法
• 组合表示3张牌的取法
• 两者的结合就是取出3张牌，进行交替排列，即表示排列