这篇是treatment effect估计相关的论文系列第一篇所以会啰嗦一点多给出点背景。
论文
Athey, S., and Imbens, G. 2016. Recursive partitioning for heterogeneous causal effects. Proceedings of the National Academy of
Sciences.
背景
论文给出基于决策树估计实验对不同用户的不同影响。并提出Honest，variance Penalty算法旨在改进CART在tree growth过程中的过拟合问题。
我们举个例子：科研人员想衡量一种新的降血压药对病人的效果，发现服药的患者有些血压降低但有些血压升高。于是问题可以抽象成我们希望预测降压药会对哪些病人有效？相似的问题经常出现在经济，政治决策，医疗研究以及当下的互联网AB测试中。
Treatment effect之所以比通常的预测问题要更难解决，因为groud-truth在现实中是无法直接观测到的，一个人在同一时刻要么吃药要不么吃药，所以你永远无法知道吃药的人要是没吃药血压会不会也降低，或者没吃药的人要是吃了药血压会不会降低。
既然个体的treatment effect无法估计，只能退而求其次去估计群体的treatment effect- ATE (Average treatment effect),既全部用户中（服药效果- 未服药效果）。 但是当出现个体效果差异时ATE无法反应局部效果（E.g.样本稀释）。这时我们需要估计相似群体的treatment effect-CATE（Conditional average treatment effect）
用数学抽象一下上述问题：
\[ \begin{align} & {(X_i, Y_i,T_i): X_i \in X} \\ & \text{where X是特征，Y是Response，T是AB实验分组}\\ &T_i \in {0,1} \quad \\ &Y_i = \begin{cases} Y(1) & \quad T_i = 0\\ Y(0) & \quad T_i = 1\\ \end{cases}\\ &CATE: \tau(x) = E(Y_i(1)-Y_i(0)|X=x)\\ \end{align} \]
模型
这里寻找相似用户的方式是通过决策树。树相较线性模型的优点毫无疑问是它对特征类型的兼容，尤其考虑到实际情况中会存在大量离散特征如性别，地域等等。
那究竟怎样grow tree来找到局部用户群, 取决于cost function的定义。一般决策/回归树是对Y的拟合例如RMSE，或者cross-entropy等等。这里作者选择最大化\(Y(1)-Y(0)\)作为cost Function， 既我们通过树划分出的局部人群可以实现局部实验效果最大化（正向或负向）。 cost function 如下：
\[ \begin{align} &S_l = {(X_i, Y_i,T_i): X_i \in X_l} \quad \text{叶节点-局部样本}\\ &\hat{\mu_t}(S_l) = \frac{1}{N_{l,t}}\sum_{T_i=t, i \in S_l}Y_i \quad \text{AB组Y的均值} \\ &\hat{\tau}(S_l) = \hat{\mu_1}(S_l) -\hat{\mu_0}(S_l) \quad \text{叶节点CATE}\\ &F(S_l) = N_l * \hat{\tau}^2(S_l)\\ & \text{cost fucntion}: max \sum_{i=1}^L F(S_i)\\ \end{align} \]
熟悉决策树的朋友也就知道后续split criterion就是去寻找最大化CATE增长的特征和阈值。对决策树不太睡的朋友可以来我之前的博客看看Tree-Decision Tree with Sklearn source code
模型优化
决策树最大的问题就是过拟合，因为每一次split都一定可以带来Information Gain。这里就涉及到ML里最经典的Bias-variance trade off。树划分的节点越小，对样本的估计偏差(Bias)越小但方差(Variance)越大。
传统决策树一般通过几个方法来解决过拟合的问题：
- cross-validation来确定树深度
- min_leaf, min_split_gain 用叶节点的最小样本量等参数来停止growth
作者在文章中给出另外两种解决过拟合的方法：
- Honest approach
- Variance Penalty
Honest approach是把训练样本分成train和est两部分，用train来训练模型用est来给出每个叶节点的估计
Variance Penaly则是直接把叶节点的方差加到cost function中，最终的cost function如下：
\[ F(S_l) = N_l * \hat{\tau}^2(S_l) - N_l(\frac{Var(S_{l,1})}{p} + \frac{Var(S_{l,0})}{1-p})) \]
文章大概就是这些信息，这个模型当前还没找到很好的工程实现，在Uber的Casualml项目中是正在开发中的Enhancement
其他相关模型详见因果推理的春天-实用HTE论文GitHub收藏
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