一些特殊的矩阵快速幂 hdu5950 hdu3369 hdu 3483

思想启发来自，

罗博士的根据递推公式构造系数矩阵用于快速幂

对于矩阵乘法和矩阵快速幂就不多重复了，网上很多博客都有讲解。主要来学习一下系数矩阵的构造

一开始，最一般的矩阵快速幂，要斐波那契数列Fn=F_n-1+F_n-2的第n项,想必都知道可以构造矩阵来转移

 其中，前面那个矩阵就叫做系数矩阵（我比较喜欢叫转移矩阵）

POJ3070 Fibonacci 可以试一试

 1 #include
 2 typedef long long ll;
 3 const ll md=10000;
 4 struct Mar{
 5     int r,c;
 6     ll a[10][10];
 7     Mar(){}
 8     Mar(int r,int c):r(r),c(c){
 9         for(int i=0;i)
10             for(int j=0;j0;
11     }
12 }A,T;
13 Mar mul(Mar A,Mar B){
14     Mar ans(A.r,B.c);
15     for(int i=0;i)
16         for(int j=0;j)
17             for(int k=0;k){
18                 ans.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j]%md;
19                 if(ans.a[i][j]>=md) ans.a[i][j]-=md;
20             }
21     return ans;
22 }
23 Mar poww(Mar A,int b){
24     Mar ans(A.r,A.c);
25     for(int i=0;i1;
26     while(b){
27         if(b&1) ans=mul(ans,A);
28         A=mul(A,A);
29         b>>=1;
30     }
31     return ans;
32 }
33 void init(ll a,ll b){
34     A=Mar(2,1);
35     T=Mar(2,2);
36     A.a[0][0]=b;A.a[1][0]=a;
37     T.a[0][0]=T.a[0][1]=T.a[1][0]=1;
38 }
39 int main(){
40     int t,n;
41     ll a,b;
42     while(~scanf("%d",&n)&&n!=-1){
43         if(n==0) printf("0\n");
44         else{
45             init(1,0);
46             T=poww(T,n);
47             A=mul(T,A);
48             printf("%lld\n",A.a[0][0]);
49         }
50     }
51     return 0;
52 }

昭哥说都是水题

然后像类斐波那契数列Fn=a*Fn-1+b*Fn-2 ，也就变一下系数矩阵

而如果是要求斐波那契的前n项和，除去我们知道的第n+2项-1,那对于类斐波那契的前n项和，我们可以设S_n=S_n-1+F_{n，然后构造系数矩阵}

然后对于一些递推公式，转换一下前后几项的关系，也可以构造相应的系数矩阵来矩阵快速幂求解，比如求Σi^x的前n项和的话，设Fn=n^x,Sn=Sn-1+Fn

那么n^x可以写成(n-1+1)^x的形式，把n-1设为a，1设为b，然后就是二项式定理展开了，（二项式展开看右边→_→）

我们就可以得到一个n-1向n转移的递推过程，n^x=C^x_x(n-1)^x+C^x_x(n-1)^x-1+...+C⁰_x (n-1)⁰就可以构造系数矩阵

Recursive sequence HDU - 5950 

题意：F1=a,F2=b,Fn=Fn-1+2*Fn-2+n⁴,给出n求Fn

 1 #include
 2 typedef long long ll;
 3 const ll md=2147493647;
 4 struct Mar{
 5     int r,c;
 6     ll a[10][10];
 7     Mar(){}
 8     Mar(int r,int c):r(r),c(c){
 9         for(int i=0;i)
10             for(int j=0;j0;
11     }
12 }A,T;
13 Mar mul(Mar A,Mar B){
14     Mar ans(A.r,B.c);
15     for(int i=0;i)
16         for(int j=0;j)
17             for(int k=0;k){
18                 ans.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j]%md;
19                 if(ans.a[i][j]>=md) ans.a[i][j]-=md;
20             }
21     return ans;
22 }
23 Mar poww(Mar A,int b){
24     Mar ans(A.r,A.c);
25     for(int i=0;i1;
26     while(b){
27         if(b&1) ans=mul(ans,A);
28         A=mul(A,A);
29         b>>=1;
30     }
31     return ans;
32 }
33 void init(ll a,ll b){
34     A=Mar(7,1);
35     T=Mar(7,7);
36     A.a[0][0]=b;A.a[1][0]=a;
37     for(int i=6,j=1;i>=2;i--,j<<=1) A.a[i][0]=j;
38     T.a[0][0]=1;T.a[0][1]=2;T.a[1][0]=1;
39     for(int i=6;i>=2;i--){
40         T.a[i][6]=1;
41         for(int j=5;j>=i;j--)
42             T.a[i][j]=T.a[i+1][j]+T.a[i+1][j+1];
43     }
44     for(int i=2;i<7;i++) T.a[0][i]=T.a[2][i];
45 }
46 int main(){
47     int t,n;
48     ll a,b;
49     scanf("%d",&t);
50     while(t--){
51         scanf("%d%lld%lld",&n,&a,&b);
52         if(n==1) printf("%lld\n",a%md);
53         else if(n==2) printf("%lld\n",b%md);
54         else{
55             init(a,b);
56             T=poww(T,n-2);
57             A=mul(T,A);
58             printf("%lld\n",A.a[0][0]);
59         }
60     }
61     return 0;
62 }

+1说这是她去年就懂做的题

那么(an+b)^x的前n项和呢，还是把n写成n-1+1的形式，然后(a(n-1)+1+b)^x二项式分解

(an+b)^x=C^x_x(n-1)^x*a^x*(a+b)⁰+C^x_x(n-1)^x-1*a^x-1*(a+b)¹+...+C⁰_x (n-1)⁰*a⁰*(a+b)^x,然后构造系数矩阵

RobotHDU - 3369 

题意：有个机器人第n天学n^k个单词，但星期六和星期天休息，不学单词，给出n，k,问机器一共学了多少个单词。

我们已经可以求n^k的前n项和了，那么接下来只需要求出星期六和星期天的再减去，即可。

那么，我们根据开始的星期几到下一个星期六距离的天数x,和下一个星期天距离的天数x+1，

那么要减去的部分就是，(7m1+x)^k 和(7m2+x+1)^k的前m项和m1=(n-x)/7,m2=(n-x-1)/7,且第一项分别是x^k和(x+1)^k

（转移矩阵懒得画了）

 1 #include
 2 typedef long long ll;
 3 const ll md=1e9+7;
 4 struct Mar{
 5     int r,c;
 6     ll a[25][25];
 7     Mar(){}
 8     Mar(int r,int c):r(r),c(c){
 9         for(int i=0;i)
10             for(int j=0;j0;
11     }
12 }A,T;
13 char s[25];
14 ll cf[25][25];
15 Mar mul(Mar A,Mar B){
16     Mar ans(A.r,B.c);
17     for(int i=0;i)
18         for(int j=0;j)
19             for(int k=0;k){
20                 ans.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j]%md;
21                 if(ans.a[i][j]>=md) ans.a[i][j]-=md;
22             }
23     return ans;
24 }
25 Mar poww(Mar A,int b){
26     Mar ans(A.r,A.c);
27     for(int i=0;i1;
28     while(b){
29         if(b&1) ans=mul(ans,A);
30         A=mul(A,A);
31         b>>=1;
32     }
33     return ans;
34 }
35 void init(int n,ll f0,ll a,ll b){
36     A=Mar(n,1);
37     T=Mar(n,n);
38     A.a[0][0]=f0,A.a[n-1][0]=1;
39     for(int i=n-1;i>=1;i--){
40         T.a[i][n-1]=1;
41         for(int j=n-2;j>=i;j--){
42             T.a[i][j]=T.a[i+1][j]+T.a[i+1][j+1];
43             if(T.a[i][j]>=md) T.a[i][j]-=md;
44         }
45     }
46     T.a[0][0]=1;
47     for(int i=1;i){
48         T.a[0][i]=T.a[1][i];
49         T.a[0][i]*=cf[a][n-1-i];
50         if(T.a[0][i]>=md) T.a[0][i]%=md;
51         T.a[0][i]*=cf[a+b][i-1];
52         if(T.a[0][i]>=md) T.a[0][i]%=md;
53     }
54 }
55 ll solve(int n,int m,int x){
56     ll ans1,ans2,ans3;
57     init(m+2,0,1,0);T=poww(T,n);
58     A=mul(T,A);ans1=A.a[0][0];
59     init(m+2,cf[x][m],7,x);T=poww(T,(n-x)/7);
60     A=mul(T,A);ans2=A.a[0][0];
61     init(m+2,cf[x+1][m],7,x+1);T=poww(T,(n-x-1)/7);
62     A=mul(T,A);ans3=A.a[0][0];
63     return ((((ans1-ans2)%md+md)%md-ans3)%md+md)%md;
64 }
65 int main(){
66     for(int i=0;i<=20;i++){
67         cf[i][0]=1;
68         for(int j=1;j<=15;j++){
69             cf[i][j]=cf[i][j-1]*i;
70             if(cf[i][j]>=md) cf[i][j]%=md;
71         }
72     }
73     int t=1,T,n,m,x;
74     scanf("%d",&T);
75     while(t<=T){
76         scanf("%s",s);
77         scanf("%d%d",&n,&m);
78         if(s[0]=='M') x=6;
79         else if(s[0]=='T'&&s[1]=='u') x=5;
80         else if(s[0]=='W') x=4;
81         else if(s[0]=='T') x=3;
82         else if(s[0]=='F') x=2;
83         else if(s[0]=='S'&&s[1]=='a') x=1;
84         else x=0;
85         ll ans=solve(n,m,x);
86         printf("Case %d: %lld\n",t++,ans);
87     }
88     return 0;
89 }

我也想学那么多单词

最后，如果是要求n^xxⁿ的前n项和呢，一样把n写成n-1+1，然后(n-1+1)^xxⁿ二项式分解

n^xxⁿ=C^x_x(n-1)^x*x^n-1+1+C^x_x(n-1)^x-1*x^n-1+1+...+C⁰_x (n-1)⁰*x^n-1+1,转移矩阵就有了

A Very Simple ProblemHDU - 3483 

求n^xxⁿ的前n项和的模板题

 1 #include
 2 typedef long long ll;
 3 const int N=111;
 4 struct Mar{
 5     int r,c;
 6     ll a[N][N];
 7     Mar(){}
 8     Mar(int r,int c):r(r),c(c){
 9         for(int i=0;i)
10             for(int j=0;j0;
11     }
12 }A,T;
13 ll md        ;
14 Mar mul(Mar A,Mar B){
15     Mar ans(A.r,B.c);
16     for(int i=0;i)
17         for(int j=0;j)
18             for(int k=0;k){
19                 ans.a[i][j]+=A.a[i][k]*B.a[k][j]%md;
20                 if(ans.a[i][j]>=md) ans.a[i][j]-=md;
21             }
22     return ans;
23 }
24 Mar poww(Mar A,int b){
25     Mar ans(A.r,A.c);
26     for(int i=0;i1;
27     while(b){
28         if(b&1) ans=mul(ans,A);
29         A=mul(A,A);
30         b>>=1;
31     }
32     return ans;
33 }
34 void init(int n,int x){
35     A=Mar(n,1);
36     T=Mar(n,n);
37     A.a[n-1][0]=1;
38     T.a[0][0]=1;
39     for(int i=n-1;i>=1;i--){
40         T.a[i][n-1]=1;
41         for(int j=n-2;j>=i;j--){
42             T.a[i][j]=T.a[i+1][j]+T.a[i+1][j+1];
43             if(T.a[i][j]>=md) T.a[i][j]-=md;
44         }
45     }
46     for(int i=n-1;i>=1;i--)
47         for(int j=n-1;j>=i;j--){
48             T.a[i][j]*=x;
49             if(T.a[i][j]>=md) T.a[i][j]%=md;
50         }
51     for(int i=1;i0][i]=T.a[1][i];
52 }
53 int main(){
54     int n,x;
55     while(~scanf("%d%d%lld",&n,&x,&md)){
56         if(n<0&&x<0&&md<0) break;
57         init(x+2,x);
58         T=poww(T,n);
59         A=mul(T,A);
60         printf("%lld\n",A.a[0][0]);
61     }
62     return 0;
63 }

啊，学到了