基于梯度场的网格编辑
基于梯度场的网格编辑，对应的Paper为《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》，是Siggraph 2004上的一篇paper，这篇paper与基于拉普拉斯的网格变形方法，统称为基于微分域的网格变形算法，这篇paper其实本质上最后的求解公式和基于拉普拉斯的网格变形方法一样，之所以能够siggraph，是因为它通过泊松梯度场的原理进行推导，算法的巧妙之处在于它以顶点(x,y,z)中的每一维作为一个标量场。
这篇paper涉及到的概念：散度、梯度场、标量场、向量场等看起来很难的东西，说实话，对于这篇paper因为网上找不到源代码，我把这篇paper看了好多遍，才把它的代码写出来。学这篇paper时是我第一次学习向量场的相关知识，向量场在三维算法中非常重要，同时当时给我的感觉也真不是一般的难，我看了好多关于标量场、矢量场的相关知识理论，才感觉慢慢理解。
一、相关理论
数学上的泊松方程：
其中f表示标量场，w表示梯度场。
三角网格曲面上的微分算子离散化(引用自《勾画式泊松网格编辑》)：
给定定义在网格曲面上的分段线性标量场f(v)=fi*φi(v),其中v为网格曲面上的任意一点；fi为标量场在网格曲面顶点vi处的函数值；φi(*)为分段线性基函数，它在顶点vi处取值为1 ，在其余顶点处取值为0。我们有标量场f 对应的梯度算子
其中▽φi(*)仅在顶点的邻接三角形上有非零值，且由于φi(*)分段线性，▽φi(*)在各个邻接三角形上为分段常值函数. 从几何角度，可以容易地给
出▽φi(*)在三角形T =(vi，vj ，vk)上的定义:
其中，R90代表绕三角形法向量nT 旋转90度，AT是三角形的面积。类似地，给定定义在三角网格曲面上的分段常值的矢量场w，我们定义在顶点vi处w的散度为：
根据梯度算子和散度算子的定义，最后可以推导出网格曲面上的标量场f在顶点vi处的拉普拉斯算子为：
这篇paper是由浙大的牛人周坤提出来的，算法最后跟拉普拉斯网格编辑的最后公式可以说是一样的，然而它的标量场给我很大的启示，这篇paper直接把(x,y,z)中的x，y，z分别当做一个标量场，然后对标量场求取梯度场，最后求取散度，然后通过泊松方程重建网格模型，实现网格变形。想要更深入的了解泊松重建，可以看看我的另外一篇博文《图像处理（十二）图像融合(1)Seamless cloning泊松克隆-Siggraph 2004》
二、算法实现
1、求取源网格曲面的梯度场，最后求取梯度场的散度。
- //计算各个顶点的梯度
- void CScaleDeformBrush::Get_Faces_Gradient()
- {
- int fn=m_BaseMesh->faces.size();
- m_BaseMesh->need_adjacentfaces();
- #pragma omp parallel for
- for (int i=0;i
- {
- TriMesh::Face &f=m_BaseMesh->faces[i];
- vec vij=m_BaseMesh->vertices[f[1]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
- vec vik=m_BaseMesh->vertices[f[2]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
- vec normalf=vij CROSS vik;
- float areaf=0.5f*len(normalf);
- normalize(normalf);
- for (int k=0;k<3;k++)
- {
- m_Face_Gradient[i][k]=vec(0,0,0);
- for (int j=0;j<3;j++)
- {
- vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(j+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(j+1)%3]];
- vec gradient=float(m_BaseMesh->vertices[f[j]][k]*0.5f/areaf)*(normalf CROSS ei);
- m_Face_Gradient[i][k]=m_Face_Gradient[i][k]+gradient;
- }
- }
- }
- }
- void CScaleDeformBrush::Compute_Divergence()
- {
- //计算顶点的散度
- m_BaseMesh->need_adjacentfaces();
- int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
- #pragma omp parallel for
- for (int i=0;i
- {
- for (int j=0;j<3;j++)
- {
- m_vertices[i].VDivergence[j]=0.0f;
- }
- vector<int>&adjacentface=m_BaseMesh->adjacentfaces[i];
- for (int j=0;j
- {
- TriMesh::Face &f=m_BaseMesh->faces[adjacentface[j]];
- for (int k=0;k<3;k++)
- {
- if (f[k]==i)
- {
- vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]];
- vec e1=m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
- vec e2=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
- double cot_angle1=Cot_angle(e2,ei);
- double cot_angle2=Cot_angle(-1.0f*e1,ei);
- for (int xyz=0;xyz<3;xyz++)
- {
- m_vertices[i].VDivergence[xyz]+=0.5*(cot_angle1*(e1 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz])+cot_angle2*(e2 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz]));
- }
- break;
- }
- }
- }
- }
- }
- //计算v1 v2 之间夹角的余切值
- double CScaleDeformBrush::Cot_angle(vec v1,vec v2)
- {
- vec vivo=v1;
- vec vjvo=v2;
- double dotvector=vivo DOT vjvo;
- dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
- return dotvector;
- }
//计算各个顶点的梯度
void CScaleDeformBrush::Get_Faces_Gradient()
{
int fn=m_BaseMesh->faces.size();
m_BaseMesh->need_adjacentfaces();
#pragma omp parallel for
for (int i=0;ifaces[i];
vec vij=m_BaseMesh->vertices[f[1]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
vec vik=m_BaseMesh->vertices[f[2]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
vec normalf=vij CROSS vik;
float areaf=0.5f*len(normalf);
normalize(normalf);
for (int k=0;k<3;k++)
{
m_Face_Gradient[i][k]=vec(0,0,0);
for (int j=0;j<3;j++)
{
vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(j+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(j+1)%3]];
vec gradient=float(m_BaseMesh->vertices[f[j]][k]*0.5f/areaf)*(normalf CROSS ei);
m_Face_Gradient[i][k]=m_Face_Gradient[i][k]+gradient;
}
}
}
}
void CScaleDeformBrush::Compute_Divergence()
{
//计算顶点的散度
m_BaseMesh->need_adjacentfaces();
int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
#pragma omp parallel for
for (int i=0;i&adjacentface=m_BaseMesh->adjacentfaces[i];
for (int j=0;jfaces[adjacentface[j]];
for (int k=0;k<3;k++)
{
if (f[k]==i)
{
vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]];
vec e1=m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
vec e2=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
double cot_angle1=Cot_angle(e2,ei);
double cot_angle2=Cot_angle(-1.0f*e1,ei);
for (int xyz=0;xyz<3;xyz++)
{
m_vertices[i].VDivergence[xyz]+=0.5*(cot_angle1*(e1 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz])+cot_angle2*(e2 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz]));
}
break;
}
}
}
}
}
//计算v1 v2 之间夹角的余切值
double CScaleDeformBrush::Cot_angle(vec v1,vec v2)
{
vec vivo=v1;
vec vjvo=v2;
double dotvector=vivo DOT vjvo;
dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
return dotvector;
} 2、构建泊松方程的系数，矩阵A，也就是计算拉普拉斯矩阵
- //邻接顶点的余切权重计算
- void CScaleDeformBrush::CotangentWeights(TriMesh*TMesh,int vIndex,vector<double>&vweight,double &WeightSum,bool bNormalize)//计算一阶邻近点的各自cottan权重
- {
- int NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();
- vweight.resize(NeighborNumber);
- WeightSum=0;
- vector<int>&NeiV=TMesh->neighbors[vIndex];
- for (int i=0;i
- {
- int j_nei=NeiV[i];
- vector<int>tempnei;
- Co_neighbor(TMesh,vIndex,j_nei,tempnei);
- double cotsum=0.0;
- for (int j=0;j
- {
- vec vivo=TMesh->vertices[vIndex]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
- vec vjvo=TMesh->vertices[j_nei]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
- double dotvector=vivo DOT vjvo;
- dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
- cotsum+=dotvector;
- }
- vweight[i]=cotsum/2.0;
- WeightSum+=vweight[i];
- }
- if ( bNormalize )
- {
- for (int k=0;k
- {
- vweight[k]/=WeightSum;
- }
- WeightSum=1.0;
- }
- }
- //获取两顶点的共同邻接顶点
- void CScaleDeformBrush::Co_neighbor(TriMesh *Tmesh,int u_id,int v_id,vector<int>&co_neiv)
- {
- Tmesh->need_adjacentedges();
- vector<int>&u_id_ae=Tmesh->adjancetedge[u_id];
- int en=u_id_ae.size();
- Tedge Co_Edge;
- for (int i=0;i
- {
- Tedge &ae=Tmesh->m_edges[u_id_ae[i]];
- int opsi=ae.opposite_vertex(u_id);
- if (opsi==v_id)
- {
- Co_Edge=ae;
- break;
- }
- }
- for (int i=0;i
- {
- TriMesh::Face af=Tmesh->faces[Co_Edge.m_adjacent_faces[i]];
- for (int j=0;j<3;j++)
- {
- if((af[j]!=u_id)&&(af[j]!=v_id))
- {
- co_neiv.push_back(af[j]);
- }
- }
- }
- }
- //计算拉普拉斯矩阵
- void CScaleDeformBrush::Get_Laplace_Matrix()
- {
- int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
- int count0=0;
- vector<int>begin_N(vn);
- for (int i=0;i
- {
- begin_N[i]=count0;
- count0+=m_BaseMesh->neighbors[i].size()+1;
- }
- typedef Eigen::Triplet<double> T;
- std::vector
tripletList(count0); - for(int i=0;i
- {
- VProperty & vi = m_vertices[i];
- tripletList[begin_N[i]]=T(i,i,-vi.VSumWeight);
- int nNbrs = vi.VNeighbors.size();
- for (int k = 0;k
- {
- tripletList[begin_N[i]+k+1]=T(vi.VNeighbors[k],i,vi.VNeiWeight[k]);
- }
- }
- m_Laplace_Matrix.resize(vn,vn);
- m_Laplace_Matrix.setFromTriplets(tripletList.begin(), tripletList.end());
- }
//邻接顶点的余切权重计算
void CScaleDeformBrush::CotangentWeights(TriMesh*TMesh,int vIndex,vector&vweight,double &WeightSum,bool bNormalize)//计算一阶邻近点的各自cottan权重
{
int NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();
vweight.resize(NeighborNumber);
WeightSum=0;
vector&NeiV=TMesh->neighbors[vIndex];
for (int i=0;itempnei;
Co_neighbor(TMesh,vIndex,j_nei,tempnei);
double cotsum=0.0;
for (int j=0;jvertices[vIndex]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
vec vjvo=TMesh->vertices[j_nei]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
double dotvector=vivo DOT vjvo;
dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
cotsum+=dotvector;
}
vweight[i]=cotsum/2.0;
WeightSum+=vweight[i];
}
if ( bNormalize )
{
for (int k=0;k&co_neiv)
{
Tmesh->need_adjacentedges();
vector&u_id_ae=Tmesh->adjancetedge[u_id];
int en=u_id_ae.size();
Tedge Co_Edge;
for (int i=0;im_edges[u_id_ae[i]];
int opsi=ae.opposite_vertex(u_id);
if (opsi==v_id)
{
Co_Edge=ae;
break;
}
}
for (int i=0;ifaces[Co_Edge.m_adjacent_faces[i]];
for (int j=0;j<3;j++)
{
if((af[j]!=u_id)&&(af[j]!=v_id))
{
co_neiv.push_back(af[j]);
}
}
}
}
//计算拉普拉斯矩阵
void CScaleDeformBrush::Get_Laplace_Matrix()
{
int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
int count0=0;
vectorbegin_N(vn);
for (int i=0;ineighbors[i].size()+1;
}
typedef Eigen::Triplet T;
std::vector tripletList(count0);
for(int i=0;i 3、添加边界约束条件，并求解泊松方程，更新变形结果。
实时更新函数：
- void CScaleDeformBrush::Update_V_Position()
- {
- Get_Faces_Gradient();//求梯度
- int fn=m_BaseMesh->faces.size();
- if(!m_ScaleFace.empty())
- for (int i=0;i
- {
- if(m_ScaleFace[i])
- {
- for (int j=0;j<3;j++)
- {
- m_Face_Gradient[i][j]=1.1f*m_Face_Gradient[i][j];
- }
- m_BaseMesh->faces[i].beSelect=false;
- }
- }
- Compute_Divergence();//求散度
- if(!m_MatricesCholesky)//构建拉普拉斯矩阵
- {
- double a=m_Laplace_Matrix.coeff(0,0) +1;
- m_Laplace_Matrix.coeffRef(0,0)=a;
- m_MatricesCholesky=new Eigen::SimplicialCholesky
(m_Laplace_Matrix); //矩阵分解 - }
- int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
- for (int i=0;i<3;i++)
- {
- Eigen::VectorXd rhs_xyz(vn);
- for (int j=0;j
- {
- rhs_xyz[j]=m_vertices[j].VDivergence[i];//方程组右边
- }
- rhs_xyz[0]=rhs_xyz[0]+1.0f*m_BaseMesh->vertices[0][i];
- Eigen::VectorXd xyz=m_MatricesCholesky->solve(rhs_xyz);//求解方程
- for (int j=0;j
- {
- m_BaseMesh->vertices[j][i]=xyz[j];//更新结果
- }
- }
- m_ScaleFace.clear();
- m_ScaleFace.resize(fn,false);
- m_BaseMesh->normals.clear();
- m_BaseMesh->FaceNormal.clear();
- }
void CScaleDeformBrush::Update_V_Position()
{
Get_Faces_Gradient();//求梯度
int fn=m_BaseMesh->faces.size();
if(!m_ScaleFace.empty())
for (int i=0;ifaces[i].beSelect=false;
}
}
Compute_Divergence();//求散度
if(!m_MatricesCholesky)//构建拉普拉斯矩阵
{
double a=m_Laplace_Matrix.coeff(0,0) +1;
m_Laplace_Matrix.coeffRef(0,0)=a;
m_MatricesCholesky=new Eigen::SimplicialCholesky(m_Laplace_Matrix);//矩阵分解
}
int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
for (int i=0;i<3;i++)
{
Eigen::VectorXd rhs_xyz(vn);
for (int j=0;jvertices[0][i];
Eigen::VectorXd xyz=m_MatricesCholesky->solve(rhs_xyz);//求解方程
for (int j=0;jvertices[j][i]=xyz[j];//更新结果
}
}
m_ScaleFace.clear();
m_ScaleFace.resize(fn,false);
m_BaseMesh->normals.clear();
m_BaseMesh->FaceNormal.clear();
} 接着我们来看一下用这个算法实现的简单局部编辑结果：
上面的实时局部缩放算法我是通过另外一篇paper《Differential-Based Geometry and Texture Editing with Brushes》的思想实现的，这篇paper基本上就是拷贝《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》的思想，唯一的创新点在于它的实时交互设计方面，因为我是为了实现实时缩放刷，所以缩放的思想就是根据《Differential-Based Geometry and Texture Editing with Brushes》进行写代码的。
上面是用了上面的算法进行简单的实时编辑。
这篇paper后面还有后续的算法调整，比如梯度方向调整、还有实现网格融合、几何纹理Transfer。其中梯度方向调整是实现保特征变形的必备条件，因此如果你想要实现完整的算法，就要对梯度方向进行调整，这个可以参考我的以一篇博文《基于旋转不变量的网格变形》。在这里，我就不详细讲方向调整了，方向调整有专门的算法，paper很多。
须知：基于梯度域的变形方法和拉普拉斯网格变形算法一样，微分坐标不具有旋转不变的特点，在变形的时候，会发生曲面细节扭曲，需要对微分坐标，或者梯度方向进行调整，才能实现保特征变形，要实现旋转不变的变形，可以参考我的另外一篇博文《基于旋转不变量的网格变形》以此实现旋转不变的特点。
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参考文献：
1、《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》
2、微分网格处理技术
3、勾画式泊松网格编辑