基于梯度场的网格编辑

基于梯度场的网格编辑,对应的Paper为《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》,是Siggraph 2004上的一篇paper,这篇paper与基于拉普拉斯的网格变形方法,统称为基于微分域的网格变形算法,这篇paper其实本质上最后的求解公式和基于拉普拉斯的网格变形方法一样,之所以能够siggraph,是因为它通过泊松梯度场的原理进行推导,算法的巧妙之处在于它以顶点(x,y,z)中的每一维作为一个标量场。

这篇paper涉及到的概念:散度、梯度场、标量场、向量场等看起来很难的东西,说实话,对于这篇paper因为网上找不到源代码,我把这篇paper看了好多遍,才把它的代码写出来。学这篇paper时是我第一次学习向量场的相关知识,向量场在三维算法中非常重要,同时当时给我的感觉也真不是一般的难,我看了好多关于标量场、矢量场的相关知识理论,才感觉慢慢理解。

一、相关理论

数学上的泊松方程:


其中f表示标量场,w表示梯度场。

三角网格曲面上的微分算子离散化(引用自《勾画式泊松网格编辑》):

给定定义在网格曲面上的分段线性标量场f(v)=fi*φi(v),其中v为网格曲面上的任意一点;fi为标量场在网格曲面顶点vi处的函数值;φi(*)为分段线性基函数,它在顶点vi处取值为1 ,在其余顶点处取值为0。我们有标量场f 对应的梯度算子


其中▽φi(*)仅在顶点的邻接三角形上有非零值,且由于φi(*)分段线性,φi(*)在各个邻接三角形上为分段常值函数. 从几何角度,可以容易地给
φi(*)在三角形T =(vi,vj ,vk)上的定义:

其中,R90代表绕三角形法向量nT 旋转90度,AT是三角形的面积。类似地,给定定义在三角网格曲面上的分段常值的矢量场w,我们定义在顶点vi处w的散度为:

根据梯度算子和散度算子的定义,最后可以推导出网格曲面上的标量场f在顶点vi处的拉普拉斯算子为:


基于梯度场的网格编辑_第1张图片

这篇paper是由浙大的牛人周坤提出来的,算法最后跟拉普拉斯网格编辑的最后公式可以说是一样的,然而它的标量场给我很大的启示,这篇paper直接把(x,y,z)中的x,y,z分别当做一个标量场,然后对标量场求取梯度场,最后求取散度,然后通过泊松方程重建网格模型,实现网格变形。想要更深入的了解泊松重建,可以看看我的另外一篇博文《像处理(十二)图像融合(1)Seamless cloning泊松克隆-Siggraph 2004

二、算法实现

1、求取源网格曲面的梯度场,最后求取梯度场的散度。

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  1. //计算各个顶点的梯度  
  2. void CScaleDeformBrush::Get_Faces_Gradient()  
  3. {  
  4.     int fn=m_BaseMesh->faces.size();  
  5.     m_BaseMesh->need_adjacentfaces();  
  6.   
  7.     #pragma omp parallel for  
  8.     for (int i=0;i
  9.     {  
  10.         TriMesh::Face &f=m_BaseMesh->faces[i];  
  11.         vec vij=m_BaseMesh->vertices[f[1]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];  
  12.         vec vik=m_BaseMesh->vertices[f[2]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];  
  13.         vec normalf=vij CROSS vik;  
  14.         float areaf=0.5f*len(normalf);  
  15.         normalize(normalf);  
  16.         for (int k=0;k<3;k++)  
  17.         {  
  18.            m_Face_Gradient[i][k]=vec(0,0,0);  
  19.            for (int j=0;j<3;j++)  
  20.            {  
  21.             vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(j+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(j+1)%3]];  
  22.             vec gradient=float(m_BaseMesh->vertices[f[j]][k]*0.5f/areaf)*(normalf CROSS ei);  
  23.             m_Face_Gradient[i][k]=m_Face_Gradient[i][k]+gradient;  
  24.             }  
  25.   
  26.         }  
  27.     }  
  28.   
  29. }  
  30. void CScaleDeformBrush::Compute_Divergence()  
  31. {  
  32.         //计算顶点的散度  
  33.     m_BaseMesh->need_adjacentfaces();  
  34.     int vn=m_BaseMesh->vertices.size();  
  35.     #pragma omp parallel for  
  36.     for (int i=0;i
  37.     {     
  38.         for (int j=0;j<3;j++)  
  39.         {  
  40.             m_vertices[i].VDivergence[j]=0.0f;  
  41.         }  
  42.         vector<int>&adjacentface=m_BaseMesh->adjacentfaces[i];  
  43.         for (int j=0;j
  44.         {  
  45.             TriMesh::Face &f=m_BaseMesh->faces[adjacentface[j]];  
  46.             for (int k=0;k<3;k++)  
  47.             {  
  48.                 if (f[k]==i)  
  49.                 {  
  50.                     vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]];  
  51.                     vec e1=m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];  
  52.                     vec e2=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];  
  53.                     double cot_angle1=Cot_angle(e2,ei);  
  54.                     double cot_angle2=Cot_angle(-1.0f*e1,ei);  
  55.                     for (int xyz=0;xyz<3;xyz++)  
  56.                     {  
  57.                         m_vertices[i].VDivergence[xyz]+=0.5*(cot_angle1*(e1 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz])+cot_angle2*(e2 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz]));  
  58.                     }  
  59.                     break;  
  60.                 }  
  61.             }  
  62.         }  
  63.   
  64.     }  
  65.   
  66. }  
  67. //计算v1 v2 之间夹角的余切值  
  68. double CScaleDeformBrush::Cot_angle(vec v1,vec v2)  
  69. {  
  70.     vec vivo=v1;  
  71.     vec vjvo=v2;  
  72.     double dotvector=vivo DOT vjvo;  
  73.     dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);  
  74.     return dotvector;  
  75. }  
//计算各个顶点的梯度
void CScaleDeformBrush::Get_Faces_Gradient()
{
    int fn=m_BaseMesh->faces.size();
    m_BaseMesh->need_adjacentfaces();

    #pragma omp parallel for
    for (int i=0;ifaces[i];
        vec vij=m_BaseMesh->vertices[f[1]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
        vec vik=m_BaseMesh->vertices[f[2]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];
        vec normalf=vij CROSS vik;
        float areaf=0.5f*len(normalf);
        normalize(normalf);
        for (int k=0;k<3;k++)
        {
           m_Face_Gradient[i][k]=vec(0,0,0);
           for (int j=0;j<3;j++)
           {
            vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(j+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(j+1)%3]];
            vec gradient=float(m_BaseMesh->vertices[f[j]][k]*0.5f/areaf)*(normalf CROSS ei);
            m_Face_Gradient[i][k]=m_Face_Gradient[i][k]+gradient;
            }

        }
    }

}
void CScaleDeformBrush::Compute_Divergence()
{
        //计算顶点的散度
    m_BaseMesh->need_adjacentfaces();
    int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
    #pragma omp parallel for
    for (int i=0;i&adjacentface=m_BaseMesh->adjacentfaces[i];
        for (int j=0;jfaces[adjacentface[j]];
            for (int k=0;k<3;k++)
            {
                if (f[k]==i)
                {
                    vec ei=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]];
                    vec e1=m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
                    vec e2=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];
                    double cot_angle1=Cot_angle(e2,ei);
                    double cot_angle2=Cot_angle(-1.0f*e1,ei);
                    for (int xyz=0;xyz<3;xyz++)
                    {
                        m_vertices[i].VDivergence[xyz]+=0.5*(cot_angle1*(e1 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz])+cot_angle2*(e2 DOT m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz]));
                    }
                    break;
                }
            }
        }

    }

}
//计算v1 v2 之间夹角的余切值
double CScaleDeformBrush::Cot_angle(vec v1,vec v2)
{
    vec vivo=v1;
    vec vjvo=v2;
    double dotvector=vivo DOT vjvo;
    dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
    return dotvector;
}

2、构建泊松方程的系数,矩阵A,也就是计算拉普拉斯矩阵

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  1. //邻接顶点的余切权重计算  
  2. void CScaleDeformBrush::CotangentWeights(TriMesh*TMesh,int vIndex,vector<double>&vweight,double &WeightSum,bool bNormalize)//计算一阶邻近点的各自cottan权重  
  3. {     
  4.     int NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();  
  5.     vweight.resize(NeighborNumber);  
  6.     WeightSum=0;  
  7.     vector<int>&NeiV=TMesh->neighbors[vIndex];  
  8.     for (int i=0;i
  9.     {  
  10.         int j_nei=NeiV[i];  
  11.         vector<int>tempnei;  
  12.         Co_neighbor(TMesh,vIndex,j_nei,tempnei);  
  13.         double cotsum=0.0;  
  14.         for (int j=0;j
  15.         {  
  16.             vec vivo=TMesh->vertices[vIndex]-TMesh->vertices[tempnei[j]];  
  17.             vec vjvo=TMesh->vertices[j_nei]-TMesh->vertices[tempnei[j]];  
  18.             double dotvector=vivo DOT vjvo;  
  19.             dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);  
  20.             cotsum+=dotvector;  
  21.         }  
  22.         vweight[i]=cotsum/2.0;  
  23.         WeightSum+=vweight[i];  
  24.     }  
  25.   
  26.     if ( bNormalize )   
  27.     {  
  28.         for (int k=0;k
  29.         {  
  30.             vweight[k]/=WeightSum;  
  31.         }  
  32.         WeightSum=1.0;  
  33.     }  
  34. }  
  35.   
  36. //获取两顶点的共同邻接顶点  
  37. void CScaleDeformBrush::Co_neighbor(TriMesh *Tmesh,int u_id,int v_id,vector<int>&co_neiv)  
  38. {  
  39.     Tmesh->need_adjacentedges();  
  40.     vector<int>&u_id_ae=Tmesh->adjancetedge[u_id];   
  41.     int en=u_id_ae.size();  
  42.     Tedge Co_Edge;  
  43.     for (int i=0;i
  44.     {  
  45.         Tedge &ae=Tmesh->m_edges[u_id_ae[i]];  
  46.         int opsi=ae.opposite_vertex(u_id);  
  47.         if (opsi==v_id)  
  48.         {  
  49.             Co_Edge=ae;  
  50.             break;  
  51.         }  
  52.     }  
  53.     for (int i=0;i
  54.     {  
  55.         TriMesh::Face af=Tmesh->faces[Co_Edge.m_adjacent_faces[i]];  
  56.         for (int j=0;j<3;j++)  
  57.         {  
  58.             if((af[j]!=u_id)&&(af[j]!=v_id))  
  59.             {  
  60.                 co_neiv.push_back(af[j]);  
  61.             }  
  62.         }  
  63.     }  
  64. }  
  65. //计算拉普拉斯矩阵  
  66. void CScaleDeformBrush::Get_Laplace_Matrix()  
  67. {  
  68.     int vn=m_BaseMesh->vertices.size();  
  69.     int count0=0;  
  70.     vector<int>begin_N(vn);  
  71.     for (int i=0;i
  72.     {     
  73.         begin_N[i]=count0;  
  74.         count0+=m_BaseMesh->neighbors[i].size()+1;  
  75.     }  
  76.     typedef Eigen::Triplet<double> T;  
  77.     std::vector tripletList(count0);  
  78.     for(int i=0;i
  79.     {  
  80.         VProperty & vi = m_vertices[i];  
  81.         tripletList[begin_N[i]]=T(i,i,-vi.VSumWeight);  
  82.         int nNbrs = vi.VNeighbors.size();  
  83.         for (int k = 0;k
  84.         {  
  85.             tripletList[begin_N[i]+k+1]=T(vi.VNeighbors[k],i,vi.VNeiWeight[k]);  
  86.         }  
  87.     }  
  88.     m_Laplace_Matrix.resize(vn,vn);   
  89.     m_Laplace_Matrix.setFromTriplets(tripletList.begin(), tripletList.end());  
  90.   
  91. }  
//邻接顶点的余切权重计算
void CScaleDeformBrush::CotangentWeights(TriMesh*TMesh,int vIndex,vector&vweight,double &WeightSum,bool bNormalize)//计算一阶邻近点的各自cottan权重
{   
    int NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();
    vweight.resize(NeighborNumber);
    WeightSum=0;
    vector&NeiV=TMesh->neighbors[vIndex];
    for (int i=0;itempnei;
        Co_neighbor(TMesh,vIndex,j_nei,tempnei);
        double cotsum=0.0;
        for (int j=0;jvertices[vIndex]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
            vec vjvo=TMesh->vertices[j_nei]-TMesh->vertices[tempnei[j]];
            double dotvector=vivo DOT vjvo;
            dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);
            cotsum+=dotvector;
        }
        vweight[i]=cotsum/2.0;
        WeightSum+=vweight[i];
    }

    if ( bNormalize ) 
    {
        for (int k=0;k&co_neiv)
{
    Tmesh->need_adjacentedges();
    vector&u_id_ae=Tmesh->adjancetedge[u_id]; 
    int en=u_id_ae.size();
    Tedge Co_Edge;
    for (int i=0;im_edges[u_id_ae[i]];
        int opsi=ae.opposite_vertex(u_id);
        if (opsi==v_id)
        {
            Co_Edge=ae;
            break;
        }
    }
    for (int i=0;ifaces[Co_Edge.m_adjacent_faces[i]];
        for (int j=0;j<3;j++)
        {
            if((af[j]!=u_id)&&(af[j]!=v_id))
            {
                co_neiv.push_back(af[j]);
            }
        }
    }
}
//计算拉普拉斯矩阵
void CScaleDeformBrush::Get_Laplace_Matrix()
{
    int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
    int count0=0;
    vectorbegin_N(vn);
    for (int i=0;ineighbors[i].size()+1;
    }
    typedef Eigen::Triplet T;
    std::vector tripletList(count0);
    for(int i=0;i

3、添加边界约束条件,并求解泊松方程,更新变形结果。

实时更新函数:

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print ?
  1. void CScaleDeformBrush::Update_V_Position()  
  2. {  
  3.     Get_Faces_Gradient();//求梯度  
  4.     int fn=m_BaseMesh->faces.size();  
  5.     if(!m_ScaleFace.empty())  
  6.     for (int i=0;i
  7.     {  
  8.         if(m_ScaleFace[i])  
  9.         {  
  10.             for (int j=0;j<3;j++)  
  11.             {  
  12.                 m_Face_Gradient[i][j]=1.1f*m_Face_Gradient[i][j];  
  13.             }  
  14.             m_BaseMesh->faces[i].beSelect=false;  
  15.         }  
  16.     }  
  17.     Compute_Divergence();//求散度  
  18.     if(!m_MatricesCholesky)//构建拉普拉斯矩阵  
  19.     {  
  20.         double a=m_Laplace_Matrix.coeff(0,0) +1;  
  21.         m_Laplace_Matrix.coeffRef(0,0)=a;  
  22.         m_MatricesCholesky=new Eigen::SimplicialCholesky(m_Laplace_Matrix);//矩阵分解  
  23.     }  
  24.     int vn=m_BaseMesh->vertices.size();  
  25.     for (int i=0;i<3;i++)  
  26.     {  
  27.         Eigen::VectorXd rhs_xyz(vn);  
  28.         for (int j=0;j
  29.         {  
  30.             rhs_xyz[j]=m_vertices[j].VDivergence[i];//方程组右边  
  31.         }  
  32.         rhs_xyz[0]=rhs_xyz[0]+1.0f*m_BaseMesh->vertices[0][i];  
  33.         Eigen::VectorXd xyz=m_MatricesCholesky->solve(rhs_xyz);//求解方程  
  34.         for (int j=0;j
  35.         {  
  36.             m_BaseMesh->vertices[j][i]=xyz[j];//更新结果  
  37.         }  
  38.     }  
  39.     m_ScaleFace.clear();  
  40.     m_ScaleFace.resize(fn,false);  
  41.     m_BaseMesh->normals.clear();  
  42.     m_BaseMesh->FaceNormal.clear();  
  43.   
  44. }  
void CScaleDeformBrush::Update_V_Position()
{
    Get_Faces_Gradient();//求梯度
    int fn=m_BaseMesh->faces.size();
    if(!m_ScaleFace.empty())
    for (int i=0;ifaces[i].beSelect=false;
        }
    }
    Compute_Divergence();//求散度
    if(!m_MatricesCholesky)//构建拉普拉斯矩阵
    {
        double a=m_Laplace_Matrix.coeff(0,0) +1;
        m_Laplace_Matrix.coeffRef(0,0)=a;
        m_MatricesCholesky=new Eigen::SimplicialCholesky(m_Laplace_Matrix);//矩阵分解
    }
    int vn=m_BaseMesh->vertices.size();
    for (int i=0;i<3;i++)
    {
        Eigen::VectorXd rhs_xyz(vn);
        for (int j=0;jvertices[0][i];
        Eigen::VectorXd xyz=m_MatricesCholesky->solve(rhs_xyz);//求解方程
        for (int j=0;jvertices[j][i]=xyz[j];//更新结果
        }
    }
    m_ScaleFace.clear();
    m_ScaleFace.resize(fn,false);
    m_BaseMesh->normals.clear();
    m_BaseMesh->FaceNormal.clear();

}

接着我们来看一下用这个算法实现的简单局部编辑结果:

基于梯度场的网格编辑_第2张图片

上面的实时局部缩放算法我是通过另外一篇paper《Differential-Based Geometry and Texture Editing with Brushes》的思想实现的,这篇paper基本上就是拷贝《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》的思想,唯一的创新点在于它的实时交互设计方面,因为我是为了实现实时缩放刷,所以缩放的思想就是根据Differential-Based Geometry and Texture Editing with Brushes》进行写代码的。

基于梯度场的网格编辑_第3张图片

上面是用了上面的算法进行简单的实时编辑。

这篇paper后面还有后续的算法调整,比如梯度方向调整、还有实现网格融合、几何纹理Transfer。其中梯度方向调整是实现保特征变形的必备条件,因此如果你想要实现完整的算法,就要对梯度方向进行调整,这个可以参考我的以一篇博文《基于旋转不变量的网格变形》。在这里,我就不详细讲方向调整了,方向调整有专门的算法,paper很多。

须知:基于梯度域的变形方法和拉普拉斯网格变形算法一样,微分坐标不具有旋转不变的特点,在变形的时候,会发生曲面细节扭曲,需要对微分坐标,或者梯度方向进行调整,才能实现保特征变形,要实现旋转不变的变形,可以参考我的另外一篇博文《基于旋转不变量的网格变形》以此实现旋转不变的特点。

本文地址:http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/46415291    作者:hjimce     联系qq:1393852684   更多资源请关注我的博客:http://blog.csdn.net/hjimce                  原创文章,转载请保留本行信息

参考文献:

1、《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》

2、微分网格处理技术

3、勾画式泊松网格编辑

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