项目管理中通过CPM算法求关键路径，最早和最晚开始时间

首先贴一下百度百科对CPM的定义：

关键路径法(Critical Path Method, CPM)是一种基于数学计算的项目计划管理方法，是网络图计划方法的一种，属于肯定型的网络图。关键路径法将项目分解成为多个独立的活动并确定每个活动的工期，然后用逻辑关系（结束-开始、结束-结束、开始-开始和开始结束）将活动连接，从而能够计算项目的工期、各个活动时间特点（最早最晚时间、时差）等。在关键路径法的活动上加载资源后，还能够对项目的资源需求和分配进行分析。关键路径法是现代项目管理中最重要的一种分析工具。

最早开始时间：活动开始的最早时间 
最晚开始时间：在保证不延期的前提下可以开始的最晚时间

对于给定的活动图求出他的关键路径，最早和最晚开始时间一般采用回溯法，通俗讲就是从结束节点回推各个节点的开始时间。下面用一个例子展示这种算法：

如图，求出关键路径，最早开始时间和最晚开始时间，时差和各个活动的前驱节点。 

1. 求各个路径的总权值，权值最大的即为关键路径 
   ABDIJL 权值为3+5+2+2+8=20 
   ABDIJKL 权值为3+5+2+2+2+3=17 
   ABIJL 权值为19 
   ABIJKL 权值为16 
   AEGJL 权值为17 
   AEGJKL 权值为14 
   AEGHKL 权值为17 
   ACFHKL 权值为16 
   由此可知关键路径为ABDIJL。

2. 回溯求出最早，最晚开始时间和差值

   **！！！！：对于关键路径上的活动最早最晚开始时间的差值始终为0； 
   最晚开始时间=后驱节点对应的时间-活动时间 
   （如果后驱节点对应多个时间，选取最小的那个）** 
   最早开始时间=max{到达前驱结点的路径权值}+1 
   （这个加1是为什么呢？举个例子，一个工程的前半部分需要20天，从月初的1号开始，在20号正好完成，所以后半部分工程从21号开始） 
   e.p. 
   活动KL的的前驱节点为K， 
   最晚开始时间=（20+1）-3=18 
   （此处加1意义同上，但在计算最晚开始时间时只在最后活动加1，其他活动不必再加1，考虑考虑，这是符合常理的） 
   最早开始时间=max{c(ABDIJ),c(ABIJ),c(AEGJ),c(AEGH),c(ACFH)}+1=15 
   所以， 
   KL: Precursor{K} , Earliest start Time:15, latest Start Time:18 Slacktime:3;

在计算一个HK： 
通过计算KL我们知道K对应的最晚开始 时间为18 
最晚开始时间=18-4=14 
最早开始时间=11（方法同上）

所以此题所有答案如下：

AB: Precursor{A} , Earliest start Time:1, latest Start Time:1 Slacktime:0; 
BD: Precursor{B} , Earliest start Time:4, latest Start Time:4 Slacktime:0; 
DI: Precursor{D} , Earliest start Time:9, latest Start Time:9 Slacktime:0; 
BI: Precursor{B} , Earliest start Time:4, latest Start Time:5 Slacktime:1; 
AE: Precursor{A} , Earliest start Time:1, latest Start Time:5 Slacktime:3; 
EG: Precursor{E} , Earliest start Time:5, latest Start Time:8 Slacktime:3; 
GJ: Precursor{G} , Earliest start Time:8, latest Start Time:11 Slacktime:3; 
GH: Precursor{G} , Earliest start Time:8, latest Start Time:11 Slacktime:3; 
IJ: Precursor{I} , Earliest start Time:11, latest Start Time:11 Slacktime:0; 
AC: Precursor{A} , Earliest start Time:1, latest Start Time:5 Slacktime:4; 
CF: Precursor{A} , Earliest start Time:6, latest Start Time:10 Slacktime:4; 
FH: Precursor{F} , Earliest start Time:9, latest Start Time:13 Slacktime:4; 
HK: Precursor{H} , Earliest start Time:11, latest Start Time:14 Slacktime:3; 
JK: Precursor{J} , Earliest start Time:13, latest Start Time:16 Slacktime:3; 
JL: Precursor{J} , Earliest start Time:13, latest Start Time:13 Slacktime:0; 
KL: Precursor{K} , Earliest start Time:15, latest Start Time:18 Slacktime:3;

另外需要说明一点的是，在计算最晚开始时间时，如果后驱节点对应多个时间，选取最小的那个。 
例如，IJ 
J对应的最晚开始时间分别出现在JK和JL,选取小的那个13。

由于最近在学习软件工程这门课程，所以按照官方定义自己捉摸了这个做题的路子，有什么不对的还请指正。