Thin plate splines 薄板样条插值个人理解

Thin plate spline 薄板样条插值是一种插值算法，经常用于图像变形（image warping）等，通过少量的控制点就可以驱动图像进行变化。

TPS

既然是插值方法，就从插值开始说起。
插值，简单来说就是近似，用一个插值函数去近似我们已经知道的数据，近似的结果和真实结果间的差值也表示了插值函数的好坏。常见的插值函数有多项式函数，样条函数等。
给定L个点 {xi,yi}Li=1 以及他们对应的函数值 vi,i=1,2,⋯,L . TPS插值的目标就是求解一个函数 f ，使得 f(x,y)=v ,并且弯曲能量函数最小。我们把插值函数想象成用力去弯折一块薄钢板，使这块钢板穿过给定的L个点，弯曲这块钢板所需的力或者能量可以表示为：
J(ϕ)=∑2j=1∬(∂2ϕj∂x2)2+2(∂2ϕj∂x∂y)2+(∂2ϕj∂y2)2dxdy
可以证明TPS的插值函数就是使得弯曲能量最小的函数。

f(x,y)=a0+a1+a2+∑Li=1ωiϕ(s)

其中 ϕ(⋅) 是一个样条函数

ϕ(s)={s2logs20si,j≠0otherwise.

s是矩阵S的元素， si,j=∥Pi−Pj∥2 。
TPS插值函数有 L+3 个参数，条件 f(x,y)=v 只有L个，需要添加约束才能求解，我们再添加三个约束：

∑Lk=1ωk=0

∑Lk=1xiωk=0

∑Lk=1yiωk=0

TPS插值函数的参数可以通过求解如下方程组求得：

[SQTQO3×3][ωa]=[v0]

Q=[11×L;X;Y] , a,ω,v 都是已知的向量表示。当有噪声存在时（或者说允许有一定的误差），我们可以引入一个正则项 λ 来控制TPS插值的平滑程度，具体做法就是在样条函数的作用矩阵S上做文章，令 S=S+λI , I 是一个单位矩阵。

以上是TPS插值得到函数值的具体方法。更多的，我们一般操作的都是二维平面的点。对于这种情况，只需要将x和y坐标分开看待，求解两个TPS插值函数即可。例如我们有N个对应 {xi,yi}Ni=1 和 {ui,vi}Ni=1 ,则求解方程组如下：

[SQTQO3×3][ωxaxωyay]=[u0v0]

我们求得TPS插值函数之后，如何利用TPS插值函数计算新的点插值之后的位置呢？ （x,y） 经过TPS插值之后的位置 （x′,y′） 可通过下式计算：

[x′y′]=[ϕ(B)Q][ωxaxωyay]

其中 B(i,j)=∥(xi,yi)−(ui,vi)∥2 .

image warping

利用TPS插值做图像变形，只需要制定对应的控制点的坐标，然后根据TPS函数对图像所有像素点进行插值，求得插值之后的位置，进行像素值映射就可以，这种一般也叫作后向插值法，会出现有些点经过插值后不再属于图像范围内，舍弃掉即可。对应的还有种插值方法叫前向插值法，就是对变形后的图像每个像素点求它在原图像中的位置，感兴趣的可以看看。

PS：第一篇博文，鼓励自己，再接再厉！