高等数学（下）空间解析几何与向量代数

1 向量代数

1.1 向量及其线性运算

1.1.1 方向角与方向余弦

1.1.1.1 定义

非零向量 a⃗  a → 与坐标轴的三个夹角 α、β、γ α 、 β 、 γ 称为向量 a⃗  a → 的方向角。

cosα、cosβ、cosγ c o s α 、 c o s β 、 c o s γ 称为向量 a⃗  a → 的方向余弦。

1.1.1.2 计算法

以向量 a⃗  a → 的方向余弦为坐标的向量就是与 a⃗  a → 同方向的单位向量 e⃗  e → 。

故 cos2α+cos2β+cos2γ=1,ea→=(cosα,cosβ,cosγ) c o s 2 α + c o s 2 β + c o s 2 γ = 1 , e a → = ( c o s α , c o s β , c o s γ ) 。

若 a⃗ =(x,y,z） a → = ( x , y , z ） ，则 cosα=xx2+y2+z2√,cosβ=yx2+y2+z2√,cosγ=zx2+y2+z2√ c o s α = x x 2 + y 2 + z 2 , c o s β = y x 2 + y 2 + z 2 , c o s γ = z x 2 + y 2 + z 2

1.2 数量积 向量积 混合积

1.2.1 数量积

1.2.1.1 定义

a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅cosθ a → ⋅ b → = | a → | ⋅ | b → | ⋅ c o s θ

在空间直角坐标系下，若 a⃗ =(x1,y1,z1),b⃗ =(x2,y2,z2) a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 a⃗ ⋅b⃗ =x1x2+y1y2+z1z2 a → ⋅ b → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

1.2.1.2 用数量积表示向量的模

|a⃗ |=a⃗ ⋅a⃗ −−−−√ | a → | = a → ⋅ a →

1.2.1.3 数量积判定两向量是否垂直

a⃗ ⊥b⃗ ⇔a⃗ ⋅b⃗ ⇔x1x2+y1y2+z1z2=0 a → ⊥ b → ⇔ a → ⋅ b → ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0

1.2.2 向量积

1.2.2.1 定义

|a⃗ ×b⃗ |=|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅sin(a⃗ ,b⃗ ) | a → × b → | = | a → | ⋅ | b → | ⋅ s i n ( a → , b → ) ，方向垂直于 a⃗  a → 且垂直于 b⃗  b → ，并且 a⃗ 、b⃗ 、a⃗ ×b⃗  a → 、 b → 、 a → × b → 可构成右手系。

设 a⃗ =(x1,y1,z1),b⃗ =(x2,y2,z2) a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 a⃗ ×b⃗ = a → × b → = ∣∣∣∣∣i⃗ x1x2j⃗ y1y2k⃗ z1z2∣∣∣∣∣ | i → j → k → x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 |

1.2.3 混合积

1.2.3.1 定义

(a⃗ ×b⃗ )⋅c⃗  ( a → × b → ) ⋅ c → 称为 a⃗ ,b⃗ ,c⃗  a → , b → , c → 的混合积，记为 [a⃗ ,b⃗ ,c⃗ ] [ a → , b → , c → ] 。

设 a⃗ =(x1,y1,z1),b⃗ =(x2,y2,z2),c⃗ =(x3,y3,z3) a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , c → = ( x 3 , y 3 , z 3 )

则 [a⃗ ,b⃗ ,c⃗ ]= [ a → , b → , c → ] = ∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3z1z2z3∣∣∣∣ | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 |

1.2.3.2 混合积判定共面

a⃗ ,b⃗ ,c⃗  a → , b → , c → 共面 ⇔[a⃗ ,b⃗ ,c⃗ ]=0 ⇔ [ a → , b → , c → ] = 0

要证明不重合的四个点A，B，C，D共面（或者三线共面），只需要证明 [AB→,AC→,AD→]=0 [ A B → , A C → , A D → ] = 0

1.2.3.3 计算四面体体积

用混合积计算以A，B，C，D为顶点的四面体的体积 V：V=16[AB→,AC→,AD→] V ： V = 1 6 [ A B → , A C → , A D → ]

2 解析几何

2.1 曲面及其方程

2.1.1 常见的二次曲面的标准方程

2.1.1.1 球面方程

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = R 2 其中 (x0,y0,z0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为球心， R>0 R > 0 为球的半径

2.1.1.2 椭球面方程

(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0) ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 + ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 , c > 0 ) 当 a=b=c a = b = c 时，即为球面方程

2.1.1.3 单叶双曲面方程

(x−x0)2a2+(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1 ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 − ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 或
−(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1 − ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 + ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 或
(x−x0)2a2−(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0) ( x − x 0 ) 2 a 2 − ( y − y 0 ) 2 b 2 + ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 , c > 0 )
系数两项为正，一项为负

2.1.1.4 双叶双曲面方程

(x−x0)2a2−(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1 ( x − x 0 ) 2 a 2 − ( y − y 0 ) 2 b 2 − ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 或
−(x−x0)2a2−(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1 − ( x − x 0 ) 2 a 2 − ( y − y 0 ) 2 b 2 + ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 或
−(x−x0)2a2+(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0) − ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 − ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 , c > 0 )
系数两项为负，一项为正

2.2 平面及其方程

2.2.1 平面的方程

2.2.1.1 点法式方程

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0

其中 P(x0,y0,z0) P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为平面上给定的已知点， n⃗ =(A,B,C) n → = ( A , B , C ) 为平面的法向量

2.2.1.2 一般式方程

2.2.1.3 截距式方程

2.2.2 点到平面的距离

设给定点 P0(x0,y0,z0) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 及平面 π:Ax+By+Cz+D=0 π : A x + B y + C z + D = 0 。则 P0 P 0 到 π π 的距离为

d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√ d = | A x 0 + B y 0 + C z 0 + D | A 2 + B 2 + C 2

2.3 空间直线及其方程

2.3.1 直线方程

2.3.1.1 一般式方程（交面式方程）

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

2.3.1.2 对称式方程（点向式方程）

x−x0m=y−y0m=z−z0p x − x 0 m = y − y 0 m = z − z 0 p

其中 P(x0,y0,z0) P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为直线上给定的已知点， s⃗ =(m,n,p) s → = ( m , n , p ) 为直线的方向向量

2.3.1.3 参数式方程

⎧⎩⎨xyz=x0+mt=y0+nt=z0+pt { x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t

其中 P(x0,y0,z0) P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为直线上给定的已知点， s⃗ =(m,n,p) s → = ( m , n , p ) 为直线的方向向量

2.3.1.3 两点式方程

2.3.2 距离公式

2.3.2.1 点到直线的距离

设给顶点 P0(x0,y0,z0) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 及直线 l：x−x0m=y−y0m=z−z0p l ： x − x 0 m = y − y 0 m = z − z 0 p ，则 P0 P 0 到直线 l l 的距离为

d=|P0P1→×s⃗ ||s⃗ | d = | P 0 P 1 → × s → | | s → |

其中 P1(x1,y1,z1) P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 为直线上的某一定点， s⃗ =(m,n,p) s → = ( m , n , p ) 为直线的方向向量

2.3.2.2 两条直线间的距离

设直线 l1 l 1 过 P1 P 1 点，方向向量为 s1→ s 1 → ，直线 l2 l 2 过 P2 P 2 点，方向向量为 s2→ s 2 → ，且 s1→×s2→≠0⃗  s 1 → × s 2 → ≠ 0 → ，则 l1 l 1 与 l2 l 2 间的距离为

d=|P1P2→⋅(s1→×s2→)||s1→×s2→| d = | P 1 P 2 → ⋅ ( s 1 → × s 2 → ) | | s 1 → × s 2 → |