非零向量 a⃗ a → 与坐标轴的三个夹角 α、β、γ α 、 β 、 γ 称为向量 a⃗ a → 的方向角。
cosα、cosβ、cosγ c o s α 、 c o s β 、 c o s γ 称为向量 a⃗ a → 的方向余弦。
以向量 a⃗ a → 的方向余弦为坐标的向量就是与 a⃗ a → 同方向的单位向量 e⃗ e → 。
故 cos2α+cos2β+cos2γ=1,ea→=(cosα,cosβ,cosγ) c o s 2 α + c o s 2 β + c o s 2 γ = 1 , e a → = ( c o s α , c o s β , c o s γ ) 。
若 a⃗ =(x,y,z) a → = ( x , y , z ) ,则 cosα=xx2+y2+z2√,cosβ=yx2+y2+z2√,cosγ=zx2+y2+z2√ c o s α = x x 2 + y 2 + z 2 , c o s β = y x 2 + y 2 + z 2 , c o s γ = z x 2 + y 2 + z 2
a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅cosθ a → ⋅ b → = | a → | ⋅ | b → | ⋅ c o s θ
在空间直角坐标系下,若 a⃗ =(x1,y1,z1),b⃗ =(x2,y2,z2) a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 a⃗ ⋅b⃗ =x1x2+y1y2+z1z2 a → ⋅ b → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
|a⃗ ×b⃗ |=|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅sin(a⃗ ,b⃗ ) | a → × b → | = | a → | ⋅ | b → | ⋅ s i n ( a → , b → ) ,方向垂直于 a⃗ a → 且垂直于 b⃗ b → ,并且 a⃗ 、b⃗ 、a⃗ ×b⃗ a → 、 b → 、 a → × b → 可构成右手系。
设 a⃗ =(x1,y1,z1),b⃗ =(x2,y2,z2) a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 a⃗ ×b⃗ = a → × b → = ∣∣∣∣∣i⃗ x1x2j⃗ y1y2k⃗ z1z2∣∣∣∣∣ | i → j → k → x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 |
(a⃗ ×b⃗ )⋅c⃗ ( a → × b → ) ⋅ c → 称为 a⃗ ,b⃗ ,c⃗ a → , b → , c → 的混合积,记为 [a⃗ ,b⃗ ,c⃗ ] [ a → , b → , c → ] 。
设 a⃗ =(x1,y1,z1),b⃗ =(x2,y2,z2),c⃗ =(x3,y3,z3) a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , c → = ( x 3 , y 3 , z 3 )
则 [a⃗ ,b⃗ ,c⃗ ]= [ a → , b → , c → ] = ∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3z1z2z3∣∣∣∣ | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 |
a⃗ ,b⃗ ,c⃗ a → , b → , c → 共面 ⇔[a⃗ ,b⃗ ,c⃗ ]=0 ⇔ [ a → , b → , c → ] = 0
要证明不重合的四个点A,B,C,D共面(或者三线共面),只需要证明 [AB→,AC→,AD→]=0 [ A B → , A C → , A D → ] = 0
用混合积计算以A,B,C,D为顶点的四面体的体积 V:V=16[AB→,AC→,AD→] V : V = 1 6 [ A B → , A C → , A D → ]
(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = R 2 其中 (x0,y0,z0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为球心, R>0 R > 0 为球的半径
(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0) ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 + ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 , c > 0 ) 当 a=b=c a = b = c 时,即为球面方程
(x−x0)2a2+(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1 ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 − ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 或
−(x−x0)2a2+(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1 − ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 + ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 或
(x−x0)2a2−(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0) ( x − x 0 ) 2 a 2 − ( y − y 0 ) 2 b 2 + ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 , c > 0 )
系数两项为正,一项为负
(x−x0)2a2−(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1 ( x − x 0 ) 2 a 2 − ( y − y 0 ) 2 b 2 − ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 或
−(x−x0)2a2−(y−y0)2b2+(z−z0)2c2=1 − ( x − x 0 ) 2 a 2 − ( y − y 0 ) 2 b 2 + ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 或
−(x−x0)2a2+(y−y0)2b2−(z−z0)2c2=1(a>0,b>0,c>0) − ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 − ( z − z 0 ) 2 c 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 , c > 0 )
系数两项为负,一项为正
设给定点 P0(x0,y0,z0) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 及平面 π:Ax+By+Cz+D=0 π : A x + B y + C z + D = 0 。则 P0 P 0 到 π π 的距离为
其中 P(x0,y0,z0) P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为直线上给定的已知点, s⃗ =(m,n,p) s → = ( m , n , p ) 为直线的方向向量
其中 P(x0,y0,z0) P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 为直线上给定的已知点, s⃗ =(m,n,p) s → = ( m , n , p ) 为直线的方向向量
设给顶点 P0(x0,y0,z0) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 及直线 l:x−x0m=y−y0m=z−z0p l : x − x 0 m = y − y 0 m = z − z 0 p ,则 P0 P 0 到直线 l l 的距离为
其中 P1(x1,y1,z1) P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 为直线上的某一定点, s⃗ =(m,n,p) s → = ( m , n , p ) 为直线的方向向量
设直线 l1 l 1 过 P1 P 1 点,方向向量为 s1→ s 1 → ,直线 l2 l 2 过 P2 P 2 点,方向向量为 s2→ s 2 → ,且 s1→×s2→≠0⃗ s 1 → × s 2 → ≠ 0 → ,则 l1 l 1 与 l2 l 2 间的距离为