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斯特拉森算法

Strassen演算法是個計算矩陣乘法的演算法。


設A, B為域 F上的方矩陣。求兩者的積C。

\mathbf{C} = \mathbf{A} \mathbf{B} \qquad \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} \in F^{2^n \times 2^n}

（一般矩陣可以填0的方法計算令它成為2^n \times 2^n矩陣。）

將A, B, C分成相等大小的方塊矩陣：

\mathbf{A} =\begin{bmatrix}\mathbf{A}_{1,1} & \mathbf{A}_{1,2} \\\mathbf{A}_{2,1} & \mathbf{A}_{2,2}\end{bmatrix}\mbox { , }\mathbf{B} =\begin{bmatrix}\mathbf{B}_{1,1} & \mathbf{B}_{1,2} \\\mathbf{B}_{2,1} & \mathbf{B}_{2,2}\end{bmatrix}\mbox { , }\mathbf{C} =\begin{bmatrix}\mathbf{C}_{1,1} & \mathbf{C}_{1,2} \\\mathbf{C}_{2,1} & \mathbf{C}_{2,2}\end{bmatrix}

即

\mathbf{A}_{i,j}, \mathbf{B}_{i,j}, \mathbf{C}_{i,j} \in F^{2^{n-1} \times 2^{n-1}}

於是

\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,1}
\mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{A}_{1,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{1,2} \mathbf{B}_{2,2}
\mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,1}
\mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{A}_{2,1} \mathbf{B}_{1,2} + \mathbf{A}_{2,2} \mathbf{B}_{2,2}

引入新矩陣

\mathbf{M}_{1} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{2,2})
\mathbf{M}_{2} := (\mathbf{A}_{2,1} + \mathbf{A}_{2,2}) \mathbf{B}_{1,1}
\mathbf{M}_{3} := \mathbf{A}_{1,1} (\mathbf{B}_{1,2} - \mathbf{B}_{2,2})
\mathbf{M}_{4} := \mathbf{A}_{2,2} (\mathbf{B}_{2,1} - \mathbf{B}_{1,1})
\mathbf{M}_{5} := (\mathbf{A}_{1,1} + \mathbf{A}_{1,2}) \mathbf{B}_{2,2}
\mathbf{M}_{6} := (\mathbf{A}_{2,1} - \mathbf{A}_{1,1}) (\mathbf{B}_{1,1} + \mathbf{B}_{1,2})
\mathbf{M}_{7} := (\mathbf{A}_{1,2} - \mathbf{A}_{2,2}) (\mathbf{B}_{2,1} + \mathbf{B}_{2,2})

可得：

\mathbf{C}_{1,1} = \mathbf{M}_{1} + \mathbf{M}_{4} - \mathbf{M}_{5} + \mathbf{M}_{7}
\mathbf{C}_{1,2} = \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{5}
\mathbf{C}_{2,1} = \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{4}
\mathbf{C}_{2,2} = \mathbf{M}_{1} - \mathbf{M}_{2} + \mathbf{M}_{3} + \mathbf{M}_{6}

其中M_{i,j}的計算也是使用Strassen演算法求得。

假定施特拉斯矩阵分割方案仅用于n>=8的矩阵乘法，而对于小于8的矩阵直接利用公式计算；n的值越大，斯拉特森方法更方便；设T(n)表示斯特拉森分治运算法所需时间，因为大的矩阵会被递归分成小矩阵直到每个矩阵的大小小于或等于k，所以T(n)的递归表达式为T(n)=d(n<=k);T(n)=7*t(n/2)+cn2(n平方）（n>k),其中cn2表示完成18次（n/2)(n/2)接矩阵的加减法，以及把大小为N的矩阵分割成小矩阵所需的时间。

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