全栈工程师开发手册 (作者:栾鹏)
python数据挖掘系列教程
极大似然(Maximum Likelihood)估计为用于已知模型的参数估计的统计学方法。
也就是求使得似然函数最大的代估参数的值。而似然函数就是如果参数已知则已出现样本出现的概率。
比如,我们想了解抛硬币是正面(head)的概率分布 θ θ ;那么可以通过最大似然估计方法求得。
其中, l(θ) l ( θ ) 为观测变量序列的似然函数。
所以最大似然方法估计参数,就是先假设参数已知,然后用参数,求出样本出现的概率。如果是多个样本,就是多个样本的联合概率最大
求解使似然函数最大的代估参数,常规的做法就是对似然函数求导,求使导数为0的自变量的值,以及左右边界线的值。
例如
对 l(θ) l ( θ ) 求偏导
但是如果似然函数不是凹函数(concave),求解极大值困难。一般地,使用与之具有相同单调性的log-likelihood,如图所示也就是将似然函数求log。
所谓的凹函数和凸函数,凹函数斜率逐渐减小,凸函数斜率逐渐增大。所以凹函数“容易”求解极大值(极值为0时),凸函数“容易”求解极小值(极值为0时)。
EM算法(Expectation Maximization)是在含有隐变量(latent variable)的模型下计算最大似然的一种算法。所谓隐变量,是指我们没有办法观测到的变量。比如,有两枚硬币A、B,每一次随机取一枚进行抛掷,我们只能观测到硬币的正面与反面,而不能观测到每一次取的硬币是否为A;则称每一次的选择抛掷硬币为隐变量。
用Y表示观测数据,Z表示隐变量;Y和Z连在一起称为完全数据( complete-data ),观测数据Y又称为不完全数据(incomplete-data)。观测数据的似然函数:
求模型参数的极大似然估计:
因为含有隐变量,此问题无法求解。因此,Dempster等人提出EM算法用于迭代求解近似解。
所以EM算法是一种特殊情况下的最大似然求解方法。
EM算法比较简单,分为两个步骤:
如此迭代直至算法收敛。
如图所示,有两枚硬币A、B,每一个实验随机取一枚抛掷10次,共5个实验,我们可以观测到每一次所取的硬币,估计参数A、B为正面的概率 θ=(θA,θB) θ = ( θ A , θ B ) ,根据极大似然估计求解。
如果我们不能观测到每一次所取的硬币,只能用EM算法估计模型参数,算法流程如图所示:
隐变量 Z Z 为每次实验中选择A或B的概率,并初始化A为正面的概率为0.6,B为正面的概率为0.5。实验进行了5次。每次都要进行一遍EM操作。每次都要计算隐含变量。取A的概率,和取B的概率。然后更新代估参数 θA θ A (A为正面的概率)和 θB θ B (B为正面的概率)的值。
在初始化 θA=0.6 θ A = 0.6 和 θB=0.5 θ B = 0.5 后第一次实验后计算隐含变量(选择A的概率)为
按照上面的计算方法可依次求出其他隐含变量 Z Z ,然后计算极大化的 θ(i) θ ( i ) 。经过10次迭代,最终收敛。
K均值聚类是无监督的聚类算法。
关于k均值聚类不了解的可以参考:https://blog.csdn.net/luanpeng825485697/article/details/78993977
k均值聚类的目的就是为了是下面的损失函数最小
其中m为样本个数, xi x i 表示第 i i 个样本, ci c i 表示第第i个样本所属的聚类, uci u c i 表示第i个样本所属的聚类的质心。
假设当前 J J 没有达到最小值,那么首先可以固定每个类的质心 uj u j ,调整每个样例的所属的类别 cj c j 来让 J J 函数减少,同样,固定 cj c j ,调整每个类的质心 uj u j 也可以使 J J 减小。这两个过程就是内循环中使 J J 单调递减的过程。当 J J 递减到最小时, u u 和 c c 也同时收敛。
K-means与EM的关系
首先回到初始问题,我们目的是将样本分成K个类,其实说白了就是求一个样本的隐含类别y,然后利用隐含类别将x归类。由于我们事先不知道类别y,那么我们首先可以对每个样例假定一个y吧,但是怎么知道假定的对不对呢?怎样评价假定的好不好呢?
我们使用样本的极大似然估计来度量,这里就是x和y的联合分布P(x,y)了。如果找到的y能够使P(x,y)最大,那么我们找到的y就是样例x的最佳类别了,x顺手就聚类了。但是我们第一次指定的y不一定会让P(x,y)最大,而且P(x,y)还依赖于其他未知参数,当然在给定y的情况下,我们可以调整其他参数让P(x,y)最大。但是调整完参数后,我们发现有更好的y可以指定,那么我们重新指定y,然后再计算P(x,y)最大时的参数,反复迭代直至没有更好的y可以指定。
这个过程有几个难点:
第一怎么假定y?是每个样例硬指派一个y还是不同的y有不同的概率,概率如何度量。(kmean中是硬指定,距离哪个聚类近就属于哪个聚类)
第二如何估计 P(x,y) P ( x , y ) , P(x,y) P ( x , y ) 还可能依赖很多其他参数,如何调整里面的参数让 P(x,y) P ( x , y ) 最大。( J J 函数最小来代替 P(x,y) P ( x , y ) 最大,我们可以将这些参数写成 θ θ ,更简单的理解 θ θ 就是k个质心的选择)
按照EM算法思想: E步就是估计隐含类别y的期望值,M步调整其他参数使得在给定类别y的情况下,极大似然估计 P(x,y) P ( x , y ) 能够达到极大值。然后在其他参数确定的情况下,重新估计y,周而复始,直至收敛。
E步(E-step),以当前参数 θ θ 计算 Z Z 的期望值。也就是确定隐含类别变量 c c ,样本所属的分类。我们固定每个类的中心,通过对每一个样本选择最近的分类,以此优化目标函数。
M步(M-step),以当前 Z Z 的值计算使 P(x,y) P ( x , y ) 最大的 θ θ 。求使 J J 函数最小的 u u ,也就是求每个聚类的质心。重新更新每个类的中心点,该步骤可以通过对目标函数求导实现求解 θ θ ,最终可得新的类中心就是类中样本的均值。
这里的隐含类别变量指定方法比较特殊,属于硬指定,从k个类别中硬选出一个给样例(距离哪个聚类近就属于哪个聚类),而不是对每个类别赋予不同的概率。