Sigmod/Softmax变换

http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/7781662

Logistic/Softmax变换

sigmoid函数/Logistic 函数

取值范围为(0,1)，它可以将一个实数映射到(0,1)的区间，可以用来做二分类。

sigmoid 的导数表达式为：

sigmoid 原函数及导数图形如下：

Note: 从导数表达式可知，logit梯度最大为0.25。

 

logistic函数用于数据归一化

新数据=1/（1+e^(-原数据)）

P(i)=11+exp(−θTix)

这个函数的作用就是使得P(i)在负无穷到0的区间趋向于0，在0到正无穷的区间趋向于1。同样，函数（包括下面的softmax）加入了e的幂函数正是为了两极化：正样本的结果将趋近于1，而负样本的结果趋近于0。这样为多类别分类提供了方便（可以把P(i)看作是样本属于类别i的概率）。

logit(P) = log(P / (1-P)) = a + b*x 以及 probit(P) = a + b*x

这两个连接函数的性质使得P的取值被放大到整个实数轴上。

事实上可以把上面的公式改写一下：

P = exp(a + b*x) / (1 + exp(a + b*x)) 或者 P = pnorm(a + b*x)（这个是标准正态分布的分布函数）

 

Note: 上半部分图形显示了概率P随着自变量变化而变化的情况，下半部分图形显示了这种变化的速度的变化。可以看得出来，概率P与自变量仍然存在或多或少的线性关系，主要是在头尾两端被连接函数扭曲了，从而实现了[0,1]限制。同时，自变量取值靠近中间的时候，概率P变化比较快，自变量取值靠近两端的时候，概率P基本不再变化。这就跟我们的直观理解相符合了，似乎是某种边际效用递减的特点。

[logistic回归的一些直观理解(1.连接函数 logit probit)]

神经网络中的激活函数：sigmoid函数/Logistic 函数-软饱和和硬饱和

[神经网络中的激活函数 ]

逻辑回归中的sigmod函数

[Machine Learning - VI. Logistic Regression逻辑回归 (Week 3) ]

数据的标准化（normalization）和归一化中的应用

[数据标准化/归一化normalization ]

某小皮

 

 

Softmax函数

Softmax函数是logistic函数的一种泛化。Softmax - 用于多分类神经网络输出。二类分类当然也可以用，但是如果只输出一个神经元可以使用sigmod函数。

假设我们有一个数组，V，Vi表示V中的第i个元素，那么这个元素的Softmax值就是

也就是说，是该元素的指数，与所有元素指数和的比值。

举个例子来看公式的意思：

就是如果某一个 zj 大过其他 z, 那这个映射的分量就逼近于 1,其他就逼近于 0，主要应用就是多分类。

为什么要取指数？

第一个原因是要模拟 max 的行为，所以要让大的更大；第二个原因是需要一个可导的函数。

被称为 softmax 函数,因为它表示“ max ”函数的一个平滑版本。这是因为,如果对于所有的 j != k 都有 a_k ≫ a_j ,那么 p(C k | x) ≃ 1 且 p(C j | x) ≃ 0 。

通过softmax函数，可以使得P(i)的范围在[0,1]之间。在回归和分类问题中，通常θ是待求参数，通过寻找使得P(i)最大的θi作为最佳参数。

此外Softmax函数同样可用于非线性估计，此时参数θ可根据现实意义使用其他列向量替代。

Softmax函数得到的是一个[0,1]之间的值，且∑Kk=1P(i)=1，这个softmax求出的概率就是真正的概率，换句话说，这个概率等于期望。

Sigmoid 和 Softmax 区别

sigmoid将一个real value映射到（0,1）的区间，用来做二分类。

而 softmax 把一个 k 维的real value向量（a1,a2,a3,a4….）映射成一个（b1,b2,b3,b4….）其中 bi 是一个 0～1 的常数，输出神经元之和为 1.0，所以相当于概率值，然后可以根据 bi 的概率大小来进行多分类的任务。

二分类问题时 sigmoid 和 softmax 是一样的，求的都是 cross entropy loss，而 softmax 可以用于多分类问题

softmax建模使用的分布是多项式分布，而logistic则基于伯努利分布
多个logistic回归通过叠加也同样可以实现多分类的效果，但是 softmax回归进行的多分类，类与类之间是互斥的，即一个输入只能被归为一类；多个logistic回归进行多分类，输出的类别并不是互斥的，即"苹果"这个词语既属于"水果"类也属于"3C"类别。

[Softmax 函数及其作用（含推导）]

[常用激活函数比较]

softmax代码实现

最新版的scipy中有这个函数及其示例

[scipy.special.softmax¶]

当然tensorflow中也有这个函数，只是输入输出是tensor。

from: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/77816624

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