动态规划——基本思想

动态规划——基本思想

动态规划的特点

• 把原始问题划分为一系列子问题
• 求解每个子问题仅一次，并将其结果保存在一个表中，以后用到时到时直接存取，不重复计算，节省计算时间
• 自底向上地计算

使用范围

• 一类优化问题：可分为多个相关子问题，子问题的解被重复使用

使用动态规划的条件

• 优化子结构
  
  • 当一个问题的优化解包含了子问题的优化解时，这个问题具有优化子结构。
  • 缩小子问题集合，只需那些优化问题中包含的子问题，降低实现复杂性。
  • 优化子结构使得我们能自下向上地完成求解过程
• 重叠子问题
  
  • 在问题的求解过程中，很多子问题的解将被多次使用

设计步骤

• 分析优化解的结构
• 递归地定义最优解的代价
• 自底向上地计算优化解的代价保存之，并获取构造最优解的信息
• 根据构造最优解的信息构造优化解

优化子结构的分类

• 编号动态规划：输入为 x1,x2,…,xn ，子问题是 x1,x2,…,xi ，子问题复杂性为 O(n) (最大不下降子序列问题)
• 划分动态规划：输入为 x1,x2,…,xn ，子问题为 xi,xi+1,…,xj ，子问题复杂性是 O(n2) (矩阵链乘问题)
• 数轴动态规划：输入为 x1,x2,…,xn 和数字C，子问题为 x1,x2,…,xi ， K(K≤C) ，子问题复杂性 O(nC) (0-1背包问题)
• 前缀动态规划：输入为 x1,x2,…,xn 和 y1,y2,…,ym ，子问题为 x1,x2,…,xi 和 y1,y2,…,yj ，子问题复杂性是 O(mn) (最长公共子序列问题)
• 树形动态规划：输入是树，其子问题为子树，子问题复杂性是子树的个数。(树中独立集合问题)