Edit Distance

本篇内容将讲述Edit Distance（编辑距离），具体包括4个方面：

1. Defining Minimum Edit Distance

2. Computing Minimum Edit Distance

3. Backtrace for Computing Alignments

4. Weighted Minimum Edit Distance

Definition of Minimum Edit Distance

Minimum Edit Distance是用于衡量从字符串x变到y所需的基本操作的步数，基本操作包括：

• Insertion(插入)
• Deletion(删除)
• Substitution(替换)

如上图所示，d代表删除操作，s代表替换操作，i代表插入操作。（为了简单起见，后面的Edit Distance 简写为ED）
如果每种操作的cost为1，那么ED = 5.
如果s操作的cost为2（即Levenshtein Distance），ED = 8.

Computing Minimum Edit Distance

如何找到两个strings的minimun edit distance呢？把一个string转换为另一个string可以有很多种方法（或者说“路径“）。
对于两个字符串，X的长度为n，Y的长度为m，定义D(i,j)为X的前i个字符与Y的前j个字符之间的距离，X和Y的距离可以用D(n,m)表示。容易想到，这个问题是具有重复子问题和最优子结构性质的，动态规划就可以大展身手了。
算法过程如下图所示（采用Levenshtein Distance即替换的成本为2）：

下图是对字符串 INTENTION 和 EXECUTION执行动态规划过程形成的表。

容易看出， INTENTION 和 EXECUTION之间的Minimum Edit Distance为8

Backtrace for Computing Alignments

利用动态规划算法求得Minimum Edit Distance后，可以通过Backtrace ED的计算过程得到两个字符串之间的编辑过程。D(i,j)的取值来源有三种，D(i-1,j)、D(i,j-1)、D(i-1,j-1)，下表通过添加箭头的方式显示出整个过程(下面的阴影表示的只是一种路径)

实现寻找路径的思想也很简单，在计算ED的时候给每个单元格定义一个指向标志，指向当前单元格来源LEFT/DOWN/DIAG

Adding Backtrace to Minimum Edit Distance

算法的时间复杂度和空间复杂度均为O(nm)

Weighted Minimum Edit Distance

在拼写中，某些字母更容易出错(键盘布局)，或者一些删除、插入操作更频繁，可以在计算ED时加入权重

上图所示的混淆矩阵，数值代表被误写的可能性

Weighted Minimum Edit Distance