图论最短路径算法（三）SPFA算法（福特/Ford算法的队列实现）

SPFA是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。

【算法思想】

初始时将起点加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若某个相邻的点修改成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法。

SPFA 在形式上和广度优先搜索非常类似，不同的是广度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是说一个点修改过其它的点之后，过了一段时间可能会获得更短的路径，于是再次用来修改其它的点，这样反复进行下去。

算法时间复杂度：O(kE)，E是边数。K是常数，平均值为2。

【算法实现】

dis[i]记录从起点s到i的最短路径，w[i][j]记录连接i，j的边的长度。pre[v]记录前趋。

team[1…n]为队列，头指针head，尾指针tail。

布尔数组exist[1…n]记录一个点是否现在存在在队列中。

初始化：dis[s]=0,dis[v]=∞（v≠s），memset(exist,false,sizeof(exist));

起点入队team[1]=s; head=0; tail=1;exist[s]=true;

//伪代码
    do
    { 
    1、头指针向下移一位，取出指向的点u。
    2、exist[u]=false;已被取出了队列
    3、for与u相连的所有点v          //注意不要去枚举所有点，用数组模拟邻接表存储
              if (dis[v]>dis[u]+w[u][v])
                 {
                      dis[v]=dis[u]+w[u][v];
                      pre[v]=u;
                     if (!exist[v]) //队列中不存在v点，v入队。
                       {
                                    //尾指针下移一位，v入队;
                                  exist[v]=true;
                       }
                 ｝
    }
    while (head < tail);

循环队列：
采用循环队列能够降低队列大小，队列长度只需开到2*n+5即可。

【例】香甜的黄油(Sweet Butter)

【问题描述】
农夫John发现做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：糖。把糖放在一片牧场上，他知道N（1<=N<=500）只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。当然，他将付出额外的费用在奶牛上。
农夫John很狡猾。像以前的巴甫洛夫，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。
农夫John知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那）。
【输入格式】
第一行: 三个数：奶牛数N，牧场数P（2<=P<=800），牧场间道路数C(1<=C<=1450)。
第二行到第N+1行: 1到N头奶牛所在的牧场号。
第N+2行到第N+C+1行：每行有三个数：相连的牧场A、B，两牧场间距（1<=D<=255），当然，连接是双向的。
【输出格式】
一行 输出奶牛必须行走的最小的距离和.
另一行 输出最佳牧场编号
【输入样例】
3 4 5
2
3
4
1 2 1
1 3 5
2 3 7
2 4 3
3 4 5

【输出样例】
8
4 //说明：放在4号牧场最优
【实例程序】

/**
SPEA算法—福特算法的队列实现 
dis[i]从s点到i点的最短路径
w[][]权值
a[][num[]],图的存储形式是邻接表
team,队列,head=0,tail=1 
exit[],是否在队列中 

3 4 5//cow奶牛，pasture牧场，pathCount道路 
2
3
4
1 2 1//连接的牧场以及路径长度 
1 3 5
2 3 7
2 4 3
3 4 5

*/ 
#include
#include
#include
#include

using namespace std;
const int N = 1000;
const long maxx = 0x7f;
int dis[N],a[N][N],num[N],w[N][N],team[N],b[N];
bool exitt[N];
int i,j,n,m,cow,pasture,pathCount,u,v,l,head,tail,tot,k;
long minn; 

int main(){
	cin>>cow>>pasture>>pathCount;
	memset(b,0,sizeof(b));
	for(i=1; i<=cow; i++){
		cin>>b[i];
	} 
	memset(w,maxx,sizeof(w));
	memset(num,0,sizeof(num));
	for(i=1; i<=pathCount; i++){//初始化图的邻接表 
		cin>>u>>v>>l;
		a[u][++num[u]] = v;
		a[v][++num[v]] = u;
		w[u][v] = w[v][u] = l;
	}
	//算法开始
	for(i=1; i<=pasture; i++){//牧场全遍历，寻找路径和最小的牧场 
		//初始化 
		memset(dis,maxx,sizeof(dis));
		memset(team,0,sizeof(team)); 
		memset(exitt,false,sizeof(exitt)); 
		head = 0;
		tail = 1;
		team[1] = i;//起点入队
		exitt[i] = true;
		dis[i] = 0;
		do{//遍历队列
			head ++;
			head = ((head-1)%100)+1;
			u = team[head];
			exitt[u] = false;//u点出队列 
			for(j=1; j<=num[u]; j++){//遍历以u为起点的所有邻接边 
				if(dis[u]+w[u][a[u][j]]<dis[a[u][j]]){
					dis[a[u][j]] = dis[u] + w[u][a[u][j]];
					if(!exitt[a[u][j]]){
						tail ++;
						tail = ((tail-1)%100)+1;
						team[tail] = a[u][j];
						exitt[a[u][j]] = true;
					}
				}
			}
		}while(tail != head); 
		minn = maxx;
		tot = 0;
		for(j=1; j<=cow; j++){//计算以当前节点作为起点到达其他所有节点的最短路径和 
			tot += dis[b[j]];
		}
		if(tot < minn){
			minn = tot;
			k = i;
		}
			
	} 
	cout<<"min path long:"<<minn<<endl;
	cout<<"best pasture:"<<k;
	return 0;
	
	
	
	
}