暴力法求解“微信群覆盖”？

题目：求微信群覆盖

微信有很多群，现进行如下抽象：

(1) 每个微信群由一个唯一的gid标识；

(2) 微信群内每个用户由一个唯一的uid标识；

(3) 一个用户可以加入多个群；

(4) 群可以抽象成一个由不重复uid组成的集合，例如：

g1{u1, u2, u3}

g2{u1, u4, u5}

可以看到，用户u1加入了g1与g2两个群。

画外音，注意：

gid和uid都是uint64；

集合内没有重复元素；

假设微信有M个群(M为亿级别)，每个群内平均有N个用户(N为十级别).

现在要进行如下操作：

(1)  如果两个微信群中有相同的用户，则将两个微信群合并，并生成一个新微信群；

例如，上面的g1和g2就会合并成新的群：

g3{u1, u2, u3, u4, u5}；

画外音：集合g1中包含u1，集合g2中包含u1，合并后的微信群g3也只包含一个u1。

(2) 不断的进行上述操作，直到剩下所有的微信群都不含相同的用户为止；

将上述操作称：求群的覆盖。

设计算法，求群的覆盖，并说明算法时间与空间复杂度。

画外音：58同城2013年校招笔试题。

对于一个复杂的问题，思路肯定是“先解决，再优化”，大部分人不是神，很难一步到位。先用一种比较“笨”的方法解决，再看“笨方法”有什么痛点，优化各个痛点，不断升级方案。

 

拿到这个问题，很容易想到的思路是：

(1) 先初始化M个集合，用集合来表示微信群gid与用户uid的关系；

(2) 找到哪两个(哪些)集合需要合并；

(3) 接着，进行集合的合并；

(4) 迭代步骤二和步骤三，直至所有集合都没有相同元素，算法结束；

 

第一步，如何初始化集合？

set这种数据结构，大家用得很多，来表示集合：

• 新建M个set来表示M个微信群gid

• 每个set插入N个元素来表示微信群中的用户uid

 

set有两种最常见的实现方式，一种是树型set，一种是哈希型set。

 

假设有集合：

s={7, 2, 0, 14, 4, 12}

 

树型set的实现如下：

其特点是：

• 插入和查找的平均时间复杂度是O(lg(n))

• 能实现有序查找

• 省空间

 

哈希型set实现如下：

其特点是：

• 插入和查找的平均时间复杂度是O(1)

• 不能实现有序查找

画外音：求群覆盖，哈希型实现的初始化更快，复杂度是O(M*N)。

 

第二步，如何判断两个(多个)集合要不要合并？

集合对set(i)和set(j)，判断里面有没有重复元素，如果有，就需要合并，判重的伪代码是：

// 对set(i)和set(j)进行元素判断并合并

(1)    foreach (element in set(i))

(2)    if (element in set(j))

         merge(set(i), set(j));

 

第一行(1)遍历第一个集合set(i)中的所有元素element；

画外音：这一步的时间复杂度是O(N)。

第二行(2)判断element是否在第二个集合set(j)中；

画外音：如果使用哈希型set，第二行(2)的平均时间复杂度是O(1)。

 

这一步的时间复杂度至少是O(N)*O(1)=O(N)。

 

第三步，如何合并集合？

集合对set(i)和set(j)如果需要合并，只要把一个集合中的元素插入到另一个集合中即可：

// 对set(i)和set(j)进行集合合并

merge(set(i), set(j)){

(1)    foreach (element in set(i))

(2)    set(j).insert(element);

}

第一行(1)遍历第一个集合set(i)中的所有元素element；

画外音：这一步的时间复杂度是O(N)。

第二行(2)把element插入到集合set(j)中；

画外音：如果使用哈希型set，第二行(2)的平均时间复杂度是O(1)。

 

这一步的时间复杂度至少是O(N)*O(1)=O(N)。

 

第四步：迭代第二步与第三步，直至结束

对于M个集合，暴力针对所有集合对，进行重复元素判断并合并，用两个for循环可以暴力解决：

(1)for(i = 1 to M)

(2)    for(j= i+1 to M)

         //对set(i)和set(j)进行元素判断并合并

         foreach (element in set(i))

         if (element in set(j))

         merge(set(i), set(j));

 

递归调用，两个for循环，复杂度是O(M*M)。

 

综上，如果这么解决群覆盖的问题，时间复杂度至少是：

O(M*N) // 集合初始化的过程

+

O(M*M) // 两重for循环递归

*

O(N) // 判重

*

O(N) // 合并

画外音：实际复杂度要高于这个，随着集合的合并，集合元素会越来越多，判重和合并的成本会越来越高。

 

基于“先解决，再优化”的思想，很多优化方向的问题，自然而然的从脑中蹦出：

(1) 能不能快速通过元素定位集合？

画外音：

通过集合查元素，哈希型set时间复杂度是O(1);

通过元素查集合（句柄），如何来实现呢？

(2) 能不能快速进行集合合并？

(3) 能不能一次合并多个集合？

 

经典数据结构，分离集合(disjoint set)，它有三类操作：

Make-set(a)：生成一个只有一个元素a的集合；

Union(X, Y)：合并两个集合X和Y；

Find-set(a)：查找元素a所在集合，即通过元素找集合；

特别适合用来解决这类集合合并与查找的问题，又称为并查集。

 

如何利用并查集来解决求“微信群覆盖”问题，是后文将要介绍的内容。

画外音：先介绍“并查集”这一种方案，后续再介绍其他方案。

 

知道并查集的思路和原理，比知道什么是并查集更重要。

算法，其实还是挺有意思的。

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