跳台阶问题、变态跳台阶问题、矩形覆盖问题—C++实现

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本文的例题：递归和循环类型，都是斐波拉契数列的应用

跳台阶问题

题目：
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

递归法实现

代码：

//f(n)=f(n-1)+f(n-2) 斐波拉契数列
class Solution {
public:
    int konwn[]
    int jumpFloor(int number) 
    {
        if(number<=0)
            return -1;
        if(number==1)
            return 1;
        if(number==2)
            return 2;
        return jumpFloor(number-1)+jumpFloor(number-2);
    }
};

复杂度

自顶向下的动态规划实现

代码：

//f(n)=f(n-1)+f(n-2)，加入了known数组，数组元素不等于初始值0，
//则表示该元素已经求解过了，直接用其值即可。
class Solution 
{
public:
    int known[50] = {0};
    int jumpFloor(int number) 
    {
        if(number<=0)
            return known[number]=0;
        if(number==1)
            return known[number]=1;
        if(number==2)
            return known[number]=2;
        if(known[number]!=0)
            return known[number];
        return known[number]=jumpFloor(number-1)+jumpFloor(number-2);
    }
};

复杂度

自底向上的动态规划实现

代码：

class Solution 
{
public:
    int jumpFloor(int number) 
    {
        if(number<=0)
            return 0;
        if(number==1)
            return 1;
        if(number==2)
            return 2;
        int f0=1,f1=2,temp=0;
        for(int i=2;ireturn f1;
    }
};

复杂度

变态跳台阶问题

题目：
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

递归法实现

分析如下:
假设：f(n)表示n级台阶的总跳法数。
因为n级台阶，第一步有n种跳法：跳1级、跳2级。。。跳n级
跳1级，剩下n-1级，则剩下跳法是f(n-1)
跳2级，剩下n-2级，则剩下跳法是f(n-2)
所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)
因为f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+…+f(1)
所以f(n)=2*f(n-1)

结论：
n=1，f(1)=1
n>1，f(n)=2*f(n-1)

代码：

//n=1，f(1)=1    n>1，f(n)=2*f(n-1)
public class Solution 
{
    public int JumpFloorII(int number) 
    {
        if(number<=0)
            return -1;
        if(number==1)
            return 1;
        return 2 * JumpFloorII(number - 1);
    }
};

0—1法实现

分析如下:
把每级台阶想象为一个开关，只能到达处于开启状态的台阶。最后一个台阶必须开启，则还剩n-1个台阶。每个台阶有两种状态，所以f(n)=2^(n-1)。

结论：
n=1，f(1)=1
n>1，f(n)=2^(n-1)。

代码：

//1左移number-1位 也就是2的（number-1）次方
class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) 
    {
        if(number<=0)
            return -1;
        if(number==1)
            return 1;
        return 1<<(number-1);
    }
};

矩形覆盖

题目：
我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

代码：

//斐波拉契数列的应用
class Solution 
{
public:
    int rectCover(int number) 
    {
        int f1=1,f2=2,temp=0;
        if(number<1)
            return 0;
        if(number==1)
            return 1;
        if(number==2)
            return 2;
        for(int i=2;ireturn f2;
    }
};