RSA算法过程以及正确性证明

本文可以帮助想要完全理解RSA原理的同学，完全掌握理解RSA的原理。

一、生成公钥、私钥

1. 寻找两个不相同的大质数 $p、q$
   随意寻找两个不相同的大质数 $p$ 和 $q$，计算$N=p\times q$
2. 求 $N$ 的欧拉函数值 $\phi (N)$
   $\phi (N)=\phi (p)\phi (q)=(p-1)\cdot (q-1)$
   欧拉函数 $\phi (n)$ 的定义：
   $\phi (n)$ 是小于等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的数目。（第一次见的话肯定会觉得很奇怪，怎么还会有这么奇怪的函数(^_^)）
3. 计算私钥中最重要的 $d$
   选择一个小于 $\phi (N)$，并与 $\phi (N)$ 互质的整数 $e$，通常取65537，求得 $e$ 关于$\phi (N)$的模反元素 $d$，$e\cdot d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (N))$
   模反元素的定义：
   如果两个正整数 $a$ 和 $n$ 互质，那么一定可以找到整数 $b$，使得 $n|(a\cdot b-1)$。（前式等价于$a\cdot b-k\cdot n=1,k\in N^{\ast }$，由贝祖定理易知，整数 $b$ 一定存在）
4. 销毁$p$和$q$
   此时我们的$(N,e)$是公钥，$(N,d)$是私钥。

RSA算法的安全性： 已知 $N$ 和 $e$，是否容易得到 $d$

1. 要想知道 $d$，就要知道 $e$ 和 $\phi (N)$
2. 要想知道 $\phi (N)$，就要根据 $N$ 算出 $p$ 和 $q$，而大数的质数分解是目前公认的数学难题，只能暴力求解。

二、加密、解密

1. 使用公钥$(N,e)$加密， 假设明文为 $m(m<N)$，则密文 $c=m^e\%N$。
2. 使用私钥$(N,d)$解密，则明文 $m=c^d\%N$。

三、正确性证明（证明过程使用到欧拉定理）

证明 $m$ 经加解密后还是 $m$，即证明等式 $m=(m^e\%N{)}^d\%N,m<N$

1. 明文 $m$ 与 $N$ 互质
   $(m^e\%N{)}^d\%N$
   $=m^{ed}\%N$
   $=m^{k\phi (N)+1}\%N,k\in N^{\ast }$
   $=[m(m^{\phi (N)}\%N{)}^k]\%N$
   $=m\%N$
   $=m$
2. 明文 $m$ 不与 $N$ 互质
   $m$ 不与 $N$ 互质，$N=pq$，$p、q$都为质数。则一定有$m=cp$或$m=cq,c\in N^{\ast }$
   我们假设$m=cp$
   $(cp{)}^{ed}\%q$
   $=(cp{)}^{k\phi (N)+1}\%q,k\in N^{\ast }$
   $=(cp{)}^{k(p-1)(q-1)+1}\%q$
   $=[cp((cp{)}^{q-1}\%q{)}^{k(p-1)}]\%q$
   $=(cp)\%q$
   即$(cp{)}^{ed}=cp+tq,t\in N^{\ast }$
   易知$(cp{)}^{ed}\%p=0$，即$(cp+tq)\%p=0$，即$tq\%p=0$
   显然$p、q$互质，$\therefore t=rp,r\in N^{\ast }$
   $\therefore (cp{)}^{ed}=cp+tq=cp+rpq=cp+rN$
   $\therefore (cp{)}^{ed}\%N=(cp+rN)\%N=(cp)\%N$
   即$m^{ed}\%N=m\%N$
   故$m=(m^e\%N{)}^d\%N$，得证！
   证明部分参考的博客