[数据结构]第六章-树和二叉树(读书笔记1)

第六章-树和二叉树

6.1 树的定义和基本术语
树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。树的结构定义是一个递归的定义。即在树的定义中又用到了树的概念。每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
1.结点拥有的子树称为结点的度(Degree)。度不为零的结点称为非终端结点或者分支结点。
2.树的度是树内各结点的度的最大值。
3.同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。
4.如果将树中结点的各子树看成从左到右是有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树，否则称为无序树。
5.森林是m棵互不相交的树的集合。

6.2 二叉树
二叉树(Binary Tree)是另一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有两棵子树。并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。二叉树具有以下重要的性质。
1.在二叉树的第i层上至多有2(n-1)个结点。
2.深度为k的二叉树至多有2(k)-1个结点。
3.对任何一棵二叉树T，如果其终端节点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
4.具有n个结点的完全二叉树的深度为log2+1

#define CHAR 0
#if CHAR
 typedef char TElemType;
#else
 typedef int TElemType;
#endif

#define NIL 0
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef TElemType SqlBiTree[MAX_TREE_SIZE];
#define ClearBiTree InitBiTree /* 在顺序存储结构中，两函数完全一样 */
SqlBiTree bt;
 
typedef struct
{
	int level;
	int order; /* 结点的层,本层序号(按满二叉树计算) */
}position;

Status InitBiTree(SqlBiTree T)
{/* 构造空二叉树T。因为T是固定数组，不会改变，故不需要& */
	int i;
	for(i = 0 ;i < MAX_TREE_SIZE; i++){
		T[i] = NIL; /* 初值为空 */
	}
   return OK;
}
void DestroyBiTree()
{ /* 由于SqBiTree是定长类型,无法销毁 */
}
Status CreateBiTree(SqlBiTree T)
{ /* 按层序次序输入二叉树中结点的值(字符型或整型), 构造顺序存储的二叉树T */
	int i = 0;
#if CHAR
	int len;
	char s[MAX_TREE_SIZE];
	printf("请按层序输入结点的值(字符)，空格表示空结点，结点数≤%d:\n",MAX_TREE_SIZE);
	gets(s); /* 输入字符串 */
	len = strlen(s); /* 求字符串的长度 */
	for(; i < len; i++){ /* 将字符串赋值给T */
		T[i] = s[i];
		if(i != 0 && T[(i+1)/2-1] == NIL && T[i] != NIL){ /* 此结点(不空)无双亲且不是根 */
			printf("出现无双亲的非根结点%c\n", T[i]);
			exit(ERROR);
		}
	}
	for(i = len; i < MAX_TREE_SIZE; i++){ /* 将空赋值给T的后面的结点 */
		T[i] = NIL;
	}
#else
	printf("请按层序输入结点的值(整型)，0表示空结点，输999结束。结点数≤%d:\n",MAX_TREE_SIZE);
	while(1){
		scanf("%d",&T[i]);
		if(T[i] == 999){
			break;
		}
		if(i != 0 && T[(i+1)/2 - 1] == NIL && T[i] != NIL){ /* 此结点(不空)无双亲且不是根 */
			printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
			exit(ERROR);
		}
		i++;
	}
	while(i < MAX_TREE_SIZE){
		T[i] = NIL; /* 将空赋值给T的后面的结点 */
		i++;
	}
#endif
	return OK;
}
Status BiTreeEmpty(SqlBiTree T)
{ /* 初始条件: 二叉树T存在 */
  /* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */
	if(T[0] == NIL){ /* 根结点为空,则树空 */
		return TRUE;
	}
	else{
		return FALSE;
	}
}
/*pow()是计算x^y的一个库函数*/
int BiTreeDepth(SqlBiTree T)
{ /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */
	int i,j = -1;
	for(i = MAX_TREE_SIZE-1; i >= 0; i--){ /* 找到最后一个结点 */
		if(T[i] != NIL){
			break;
		}
	}
	i++; /* 为了便于计算 */	
	do{
		j++;
	}while(i >= pow(2.0, j));
	return j;
}
Status Root(SqlBiTree T,TElemType *e)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在 */
	/* 操作结果:  当T不空,用e返回T的根,返回OK;否则返回ERROR,e无定义 */
	if (BiTreeEmpty(T)){		/* T空 */
		return ERROR;
	}
	else{
		*e = T[0];
		return OK;
	}
}
TElemType Value(SqlBiTree T,position e)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) */
	/* 操作结果: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点的值 */
	return T[(int)pow(2.0, e.level-1) + e.order - 2];
}

Status Assign(SqlBiTree T,position e,TElemType value)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置) */
	/* 操作结果: 给处于位置e(层,本层序号)的结点赋新值value */
	int i = (int)pow(2.0, e.level-1) + e.order - 2; /* 将层、本层序号转为矩阵的序号 */
	if(value != NIL && T[(i + 1)/2 - 1] == NIL){ /* 给叶子赋非空值但双亲为空 */
		return ERROR;
	}
	else if(value == NIL &&(T[i*2+1] != NIL || T[i*2+2] != NIL)){ /*  给双亲赋空值但有叶子（不空） */
		return ERROR;
	}
	T[i] = value;
	return OK;
}

TElemType Parent(SqlBiTree T,TElemType e)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
	/* 操作结果: 若e是T的非根结点,则返回它的双亲,否则返回＂空＂ */
	int i;
	if(T[0] == NIL){ /* 空树 */
		return NIL;
	}
	for(i=0;i < MAX_TREE_SIZE; i++){
		if (e == T[i]){
			return T[(i + 1)/2 - 1];/* 找到e */
		}
	}
	return NIL;/* 没找到e */
}
TElemType LeftChild(SqlBiTree T,TElemType e)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
	/* 操作结果: 返回e的左孩子。若e无左孩子,则返回＂空＂ */
	int i;
	if(T[0] == NIL){ /* 空树 */
		return NIL;
	}
	for(i=0;i < MAX_TREE_SIZE; i++){
		if (e == T[i]){
			return T[i * 2 + 1];/* 找到e */
		}
	}
	return NIL;
}
TElemType RightChild(SqlBiTree T, TElemType e)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
	/* 操作结果: 返回e的右孩子。若e无右孩子,则返回＂空＂ */
	int i;
	if(T[0] == NIL){ /* 空树 */
		return NIL;
	}
	for(i=0;i < MAX_TREE_SIZE; i++){
		if (e == T[i]){
			return T[i * 2 + 2];/* 找到e */
		}
	}
	return NIL;
}
TElemType LeftSibling(SqlBiTree T,TElemType e)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
	/* 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂ */
	int i;
	if(T[0] == NIL){ /* 空树 */
		return NIL;
	}
	for(i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++){
		if (e == T[i] && i%2 == 0){
			return T[i-1];/* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
		}
	}
	return NIL; /* 没找到e */
}
TElemType RightSibling(SqlBiTree T,TElemType e)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点 */
	/* 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂ */
	int i;
	if(T[0] == NIL){ /* 空树 */
		return NIL;
	}
	for(i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++){
		if (e == T[i] && i%2 != 0){
			return T[i+1];/* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
		}
	}
	return NIL; /* 没找到e */
}
void Move(SqlBiTree q,int j,SqlBiTree T,int i) /* InsertChild()用到。加 */
{ /* 把从q的j结点开始的子树移为从T的i结点开始的子树 */
	if(q[j*2+1] != NIL){/* q的左子树不空 */
		Move(q,j*2+1,T,i*2+1);/* 把q的j结点的左子树移为T的i结点的左子树 */
	}
	if(q[j*2+2] != NIL){/* q的右子树不空 */
		Move(q,j*2+2,T,i*2+2);/* 把q的j结点的右子树移为T的i结点的右子树 */
	}
	T[i] = q[j]; /* 把q的j结点移为T的i结点 */
	q[j] = NIL; /* 把q的j结点置空 */
}
Status InsertChild(SqlBiTree T,TElemType p,Status LR,SqlBiTree c)
{	/* 初始条件: 二叉树T存在,p是T中某个结点的值,LR为0或1,非空二叉树c与T */
	/*           不相交且右子树为空 */
	/* 操作结果: 根据LR为0或1,插入c为T中p结点的左或右子树。p结点的原有左或 */
	/*           右子树则成为c的右子树 */
	int j,k,i=0;
	for(j = 0;j < (int)pow(2.0, BiTreeDepth(T)) - 1; j++){ /* 查找p的序号 */
		if(T[j] == p){ /* j为p的序号 */
			break;
		}
	}
	k = 2*j+1+LR; /* k为p的左或右孩子的序号 */
	if(T[k] != NIL){ /* p原来的左或右孩子不空 */
		Move(T, k, T, 2*k+2); /* 把从T的k结点开始的子树移为从k结点的右子树开始的子树 */
	}
	Move(c, i, T, k); /* 把从c的i结点开始的子树移为从T的k结点开始的子树 */
	return OK;
}
Status visit(TElemType e)
{
	printf("%d ",e);
	return OK;
}

Status(*VisitFunc)(TElemType); /* 函数变量 */
void PreTraverse(SqlBiTree T,int e)
{ /* PreOrderTraverse()调用 */
	VisitFunc(T[e]);
	if(T[2*e+1] != NIL){ /* 左子树不空 */
		PreTraverse(T, 2*e+1);
	}
	if(T[2*e+2] != NIL){ /* 右子树不空 */
		PreTraverse(T, 2*e+2);
	}
 }
Status PreOrderTraverse(SqlBiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
{	/* 初始条件: 二叉树存在,Visit是对结点操作的应用函数 */
	/* 操作结果: 先序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 */
	/*           一旦Visit()失败,则操作失败 */
	VisitFunc = Visit;
	if(!BiTreeEmpty(T)){ /* 树不空 */
		PreTraverse(T,0);
	}
	printf("\n");
	return OK;	
}

void InTraverse(SqlBiTree T,int e)
{ /* InOrderTraverse()调用 */
	if(T[2*e+1] != NIL){ /* 左子树不空 */
		InTraverse(T,2*e+1);
	}
	VisitFunc(T[e]);
	if(T[2*e+2]!=NIL){ /* 右子树不空 */
		InTraverse(T,2*e+2);
	}
}
Status InOrderTraverse(SqlBiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
{	/* 初始条件: 二叉树存在,Visit是对结点操作的应用函数 */
	/* 操作结果: 中序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 */
	/*           一旦Visit()失败,则操作失败 */
	VisitFunc = Visit;
	if(!BiTreeEmpty(T)){ /* 树不空 */
		InTraverse(T,0);
	}
	printf("\n");
	return OK;	
}
void PostTraverse(SqlBiTree T,int e)
{ /* PostOrderTraverse()调用 */
	if(T[2*e+1] != NIL){
		PostTraverse(T,2*e+1);
	}
	if(T[2*e+2] != NIL){
		PostTraverse(T,2*e+2);
	}
	VisitFunc(T[e]);
}
Status PostOrderTraverse(SqlBiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
{ /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */
/* 操作结果: 后序遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次。 */
/*           一旦Visit()失败,则操作失败 */
	VisitFunc = Visit;
	if(!BiTreeEmpty(T)){ /* 树不空 */
		PostTraverse(T,0);
	}
	printf("\n");
	return OK;
}
void LevelOrderTraverse(SqlBiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
{ /* 层序遍历二叉树 */
	int i = MAX_TREE_SIZE-1;
	int j;
	while(T[i] != NIL){
		i--;/* 找到最后一个非空结点的序号 */
	}
	for(j=0; j <= i; j++){/* 从根结点起,按层序遍历二叉树 */
		if (T[j] != NIL){
			Visit(T[j]);/* 只遍历非空的结点 */
		}
	}
	printf("\n");
}
void Print(SqlBiTree T)
{/* 逐层、按本层序号输出二叉树 */
	int j,k;
	position pos;
	TElemType e;
	for(j=1;j<=BiTreeDepth(T);j++){
		printf("第%d层: ",j);
		for(k=1;k<=pow(2.0,j-1);k++){
			pos.level = j;
			pos.order = k;
			e = Value(T,pos);
			if(e != NIL){
				printf("%d:%d ",k,e);
			}
		}
		printf("\n");
	}
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	Status i;
	int j;
	position p;
	TElemType e;
	SqlBiTree T,s;
	InitBiTree(T);
	CreateBiTree(T);
	printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
	i=Root(T,&e);
	if(i)
		printf("二叉树的根为：%d\n",e);
	else
		printf("树空，无根\n");
	printf("层序遍历二叉树:\n");
	LevelOrderTraverse(T,visit);
	printf("中序遍历二叉树:\n");
	InOrderTraverse(T,visit);
	printf("后序遍历二叉树:\n");
	PostOrderTraverse(T,visit);
	printf("请输入待修改结点的层号 本层序号: ");
	scanf("%d%d",&p.level,&p.order);
	e=Value(T,p);
	printf("待修改结点的原值为%d请输入新值: ",e);
	scanf("%d",&e);
	Assign(T,p,e);
	printf("先序遍历二叉树:\n");
	PreOrderTraverse(T,visit);
	printf("结点%d的双亲为%d,左右孩子分别为",e,Parent(T,e));
	printf("%d,%d,左右兄弟分别为",LeftChild(T,e),RightChild(T,e));
	printf("%d,%d\n",LeftSibling(T,e),RightSibling(T,e));
	InitBiTree(s);
	printf("建立右子树为空的树s:\n");
	CreateBiTree(s);
	printf("树s插到树T中,请输入树T中树s的双亲结点 s为左(0)或右(1)子树: ");
	scanf("%d%d",&e,&j);
	InsertChild(T,e,j,s);
	Print(T);
	printf("删除子树,请输入待删除子树根结点的层号 本层序号 左(0)或右(1)子树: ");
	scanf("%d%d%d",&p.level,&p.order,&j);
	Print(T);
	ClearBiTree(T);
	return 0;
}