【编程题】被3整除

原题出处：牛客网-网易2019实习生招聘编程题集合
转梦剧场的橙子的解析

　小Q得到一个神奇的数列: 1, 12, 123,…12345678910,1234567891011…。
并且小Q对于能否被3整除这个性质很感兴趣。
小Q现在希望你能帮他计算一下从数列的第l个到第r个(包含端点)有多少个数可以被3整除。

输入描述:
输入包括两个整数l和r(1 <= l <= r <= 1e9), 表示要求解的区间两端。

输出描述:
输出一个整数, 表示区间内能被3整除的数字个数。

输入例子1:
2 5

输出例子1:
3

例子说明1:
12, 123, 1234, 12345…
其中12, 123, 12345能被3整除。

梦剧场的橙子：
来当插入i以后的规律：
i = 1 —-> 1
i = 2 —-> 0
i = 3 —-> 0
i = 4 —-> 1
i = 5 —-> 0
i = 6 —-> 0
i = 7 —-> 1
………………
发现在区间[1,x]之间共计有 fuck(x) = (x+2)/3 个1，剩下的都满足要求
那么在区间[l, r]上的 r-l+1个 数字中，必须抠掉 fuck(r) - fuck(l-1) 个不满足要求的数字。
直接打印出来就可以了，O(1)，不需要循环遍历。

#include
#define fuck(x) (((x)+2)/3)
int main(){
    int l, r;
    while(~scanf("%d%d", &l, &r))
        printf("%d\n", r-l+1-fuck(r)+fuck(l-1));
    return 0;
}

============补充证明=============
记插入数字i以后形成的新数字为a[i]，数字a[i]的余数记作last[i]
容易发现，a[i] = a[i-1]*10k + i。
则
last[i] = a[i]%3 = (a[i-1]*10k + i)%3
= (a[i-1]*(10k -1) + (a[i-1] + i))%3
=(a[i-1] + i)%3
=(a[i-1]%3 + i%3)%3
=(last[i-1] + i%3)%3

则last满足递推关系：
last[i] = (last[i-1] + i%3)%3
数学归纳法：
当k = 0的时候：
last[0] = 0、last[1] = 1、last[2] = 0成立

假设规律last[3k+1] = 1、last[3k] = 0、last[3k+2] = 0成立；
则对于任意k+1而言
last[3(k+1)] = last[(3k+2) + 1] = (0 + 3(k+1)%3)%3 = 0
last[3(k+1)+1] = (0 + (3(k+1)+1)%3)%3 = 1
last[3(k+1)+2] = (1 + (3(k+1)+2)%3)%3 = (1+2)%3 = 0
可见对任意k，上述规律恒成立。

综上，last[i] = i%3==1

解析补充：
　来当插入i以后的规律：
　i = 1 —-> 1
　i = 2 —-> 0
　i = 3 —-> 0
　i = 4 —-> 1
　i = 5 —-> 0
　i = 6 —-> 0
　i = 7 —-> 1
　即：
　1%3 == 1
　12%3 == 0
　123%3 == 0
　1234%3 == 1
　12345%3 == 0
　123456%3 == 0
　1234567%3 == 1
　…

搞算法就是搞数学
数学就是艺术
艺术就是爆炸!