Branch and Bound Algorithms（分支限界法）

Branch and Bound Algorithms（分支限界法）

分支限界法 VS. 回溯法

1. 求解目标：
   回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解
   分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
2. 回溯DFS， 分支限界BFS
3. BFS vs. DFS
   find all feasible solutions 搜索的结点数相同
   if find only one solution DFS快

基本概念

• node
• Alive node
• E-node
• Dead node
• 可行解
• 最优解
• 代价函数
  • **计算位置：**搜索树的结点
  • **值：**极大化问题，是以该节点为根的子树所有可行解的值的上界
  • 极大化问题，父节点代价大于等于子节点的代价
  • 极小化问题相反
• 界： 极大化问题，

基本思想

每个结点，都计算代价函数

• 极大化问题，是以该节点为根的子树所有可行解的值的上界
• 极小化问题，以该节点为根的子树所有可行解的值的下界

DFS中

代价函数用来剪枝，极大化问题中，小于”界“的结点剪去

剪枝依据

1. 不满足约束条件
2. 对于极大化问题，代价函数值小于当前界

界的更新

BFS中

代价函数用来选择扩展结点，极小化问题中，选代价最小的结点来扩展（最快得到解）

两种方法：

• 广度优先 ：（FIFO）按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个结点为扩展结点。
• 最小耗费（最大效益）优先：（Priority Queue）按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。

特点：

1. 每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
2. 活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

LC Search（Least Cost Search)

BFS 的改进版本, 一种选择扩展结点的方式
在BFS的基础上，加了代价函数

To avoid fulsome depth first search(避免算法过分偏向于作纵深检查)
g^ (X) —an estimating function of the cost form node X to an answer node
c^(X) = f(h(X)) + g^(X)