(JZ4245)2019.01.29【NOIP提高组】模拟B组 1.er（混沌与秩序）

【五校联考6day2】er

Description

小明在业余时间喜欢打电子游戏，不是星际和魔兽这些，是赛尔号一类的游戏。最近小明在玩一款新出的游戏，叫做■■■■■■■■。小明觉得游戏里自己的装备太垃圾了，每次都被大神虐，一怒之下充了■■元准备强化装备。
这个游戏中用于强化装备的道具叫做强化符文。有以下3 种：

1. 赋值强化符文，对某个装备使用这个符文以后，装备威力值会变为一个常数。因为这个功能很IMBA，可以让一个垃圾装备变得非常牛■，所以它在游戏里很稀有，市场上最多能见到一个。
2. 加法强化符文，对某个装备使用后，威力值加上一个常数。
3. 乘法强化符文，对某个装备使用后，威力值乘上一个常数。
   市场上有M 个不同强化符文可以购买，小明有N 件装备准备强化，他只能购买K 个强化符文，然后以任意顺序使用这些符文，强化他的任意装备（一个装备可以不强化也可以强化多次）。根据游戏的设定，所有装备威力值乘积为总效果。请为他设计一个购买和强化方案，使强化后的所有装备总效果值最大。
   由于小明RP 不太好，打BOSS 都不掉神装，所以他的装备不超过两件。

Input

第一行3 个正整数N;M;K, 含义见题面。
第二行N 个正整数Ai，表示他的每个装备的初始威力值。
第三行开始共M 行，每行两个正整数Type_i;Ci，描述一个强化符文。Type_i表示符文类型，1 表示赋值，2 表示加法，3 表示乘法。Ci 是对应的常数值。

Output

一个数，表示最大的总效果值。由于这个数可能很大，请输出它的自然对数，保留3 位小数。

Sample Input
2 5 3
0 1
2 3
2 1
2 4
3 4
3 2

Sample Output
4.159

Data Constraint

对于20% 的数据，N = 1；
对于全部数据M,K ≤ 100;N ≤ 2，最多一个Type_i = 1。
输入数据中所有数不超过2000。

纪中题解：

首先，因为赋值强化符文最多只有一个，可以枚举它用不用，至多算 3 次。相当于没有这个东西。
先考虑 N = 1 的情况。如果已知选几个加法符文几个乘法符文，那么一定是选数值最高的，一定是先加后乘，也就是说，决定了选择的两种符文的数量就可以确定最后的结果。所以可以先排好序，计算前缀和，枚举选几个加法符文，就可以计算出当前的总数值，用它来更新答案。复杂度 O(M)
N = 2 的情况，乘法符文没什么区别，因为最后算答案的时候是两个装备数值相乘，随便乘哪里都没关系。但是加法符文就不同了，决定了选几个加法符文还不够，还要考虑该怎么分配到两个装备上。直觉上暴力枚举复杂度好象是指数级的。但是我们只需考虑相加后的答案，如果给第一个装备分配的数值之和为 x，那么给第二个装备分配的数值也就确定了，而这个 x 最多只有2000 × 100 = 200000 种情况，比指数级小多了。具体在实现时，可以在枚举选几个加法符文的同时，用背包算法算出所有可能的分配情况并枚举这些情况计算答案。复杂度 O(M ×∑Ai)。

个人补充：(参考自andyscl的blog)

   分n=1,n=2两种情况讨论
   n=1时，排序后直接贪心加，之后直接乘；或者用前缀和也可以（但还是要排序哦）
   n=2时，枚举i，表示用了i个加法，那么再枚举一个j,j表示用<=i个加法的值给第一个数。然后就处理加法的前缀和$$sum[i]$$和乘法的前缀和$$num[i]$$。知道另一个加了多少$$sum[i]-xsum[i]-x$$，再用$$（sum[i]-x+a）\ast (x+b)\ast num[k-i]（sum[i]-x+a）\ast (x+b)\ast num[k-i]$$比较答案。处理j是否可行就可以用背包判定。

story↗ time↘(请脑补卡面来打gaizgay子的音效)：

   一开始，觉得：只用先赋值更大的值给小的装备，再加威力较小的装备，最后加起来再乘一下就完事了。
   然后，发现：所有装备威力值乘积为总效果。ok，那最后+便乘×不就行了吗？结果发现跑出来的是：5.075。再按照自己的思路看样列，算出来的是160，而ln(160)≈5.075。而题目的是ln(64)≈4.159。顿时黑人问号脸，只能代入数据，将第一个武器加上1，最后就是(0+1)*(1+3+4)*2 *3=64完工了！(๑′ᴗ‵๑)
   最后就爆蛋了…请看清楚k是什么：他只能购买K 个强化符文orz

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m,k,z,w,a[5],len1,len2;
long long cnt,sum[105],p[105],s[105],f[200005];
double ans,sec[105];

void bag(int x){
    for (int j=z; j>=x; j--) 
		f[j]=max(f[j],f[j-x]);
}

void single(){
    for (int i=0; i<=len1; i++){
    	if (i>k) break;
    	ans=max(ans,log(1.0*(sum[i]+a[1]))+sec[k-i]);
    	ans=max(ans,log(1.0*(w+sum[i]))+sec[k-i-1]);
	}
}

void doouble(){
	sec[0]=1;f[0]=1;
    for (int i=0; i<=len1; i++){
       	if (i>k) break;
       	bag(sum[i]-sum[i-1]);
       	if (k-i==len2) sum[0]=0;
        for (int j=0; j<=sum[i]; j++) 
        	if (f[j]>0&&f[sum[i]-j]>0) {
         		cnt=sum[i]-j;
         		ans=max(ans,log((cnt+a[1])*1.0)+log((j+a[2])*1.0)+sec[k-i]);
         		ans=max(ans,log((cnt+a[1])*1.0)+log((j+a[2]+w)*1.0)+sec[k-i-1]);
         		ans=max(ans,log((cnt+a[1]+w)*1.0)+log((j+a[2])*1.0)+sec[k-i-1]);
       		}
    }
}
int main (){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1; i<=m; i++){
    	int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
        if (x==1) w=y;
	   	 else if (x==2) p[++len1]=y; 
		   		   else s[++len2]=y;
    }
    sort(p+1,p+len1+1,greater<int>()); sum[0]=0;
	for (int i=1; i<=len1; i++) sum[i]=sum[i-1]+p[i]; z=sum[len1];
    sort(s+1,s+len2+1,greater<int>()); sec[0]=0;
	for (int i=1; i<=len2; i++) sec[i]=sec[i-1]+log(s[i]*1.0);
    if (n==1) single();
    	 else doouble();
    printf("%.3lf",ans);
}