概率密度函数

定义

设$X$为一随机变量,若存在非负实函数$f(x)$,使对任意实数$a<b$,有
$$P\{a\le x<b\}={\int }_a^{b}f(x)dx$$
则称$X$为连续性随机变量,$f(x)$称为$X$的概率密度函数,简称概率密度或密度函数

$$P\{x_1\le X<x_2\}={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$$

分布函数

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

性质

$(1)$非负性
$f(x)\ge 0,\forall x\in (-\infty ,+\infty )$

$(2)$规范性
${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$

密度函数和分布函数的关系

$(1)$积分关系
$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx$

$F(x)=P\{X<x\}={\int }_{-\infty }^{x}f(x)dx$

$(2)$导数关系
若$f(x)$在$x$处连续,则$F^{{}^{\prime }}(x)=f(x)$

连续性随机变量的分布函数的性质

连续性随机变量的分布函数在实数域内处处连续,因此,连续型随机变量取任意指定实数值$a$的概率为$0$
$$P(X=a)=0$$
$$\begin{gathered} P(a\le X<b)=P(a<X\le b)=P(a\le X\le b)=P(a<X<b) \\ ={\int }_a^{b}f(x)dx \end{gathered}$$
$X$取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分

标准正态分布的概率计算

$分布函数$
$$\Phi (x)=P\{X<x\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$

$\Phi (0)=0.5$

$公式$
$P(a\le X\le b)=\Phi (b)-\Phi (a)$

$P(X\le b)=\Phi (b)P(X\ge a)=1-\Phi (a)$