反函数的求导法则

如果函数$x=f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f^{\prime }(y)̸=0$，那么它的反函数$y=f^{-1}(x)$在区间$I_x=\{x|x=f(y)，y\in I_y\}$内也可导，且$$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}或\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

例：
设$x=\sin y，y\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$为直接导数，则$y=\arcsin x$是它的反函数，求反函数的导数.
解：函数$x=\sin y$在区间内单调可导，$f^{\prime }(y)=\cos y̸=0$
因此，由公式得$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{(\sin y{)}^{\prime }}$$$$=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

如果在求解过程中遇到不好直接求出的三角函数，可以使用画三角形法求解