独立同分布(iid)随机变量的一些趣题

在概率论中，一组独立同分布的随机变量 x1,x2,⋯,xn 出现的频率很高。独立同分布，independent and identically distributed ,一般缩写为i.i.d。在概率论中，如果随机变量具有相同的概率分布，并且随机变量之间相互独立，那么这组随机变量就满足独立同分布。本文特意为大家整理一下与一组独立同分布的随机变量 x1,x2,⋯,xn 相关的一些有意思的小问题。

1.Case1

已知随机变量 x1,x2,⋯,xn 相互独立且同分布，方差为 σ2 ， y=1n∑n1xi ，求 Cov(x1,y) 。

解答过程：
设 E(x1)=E(y)=k ，则有

Cov(x1,y)=E(x1y)−E(x1)E(y)=E(x1y)−k2

E(x1y)=1nE(x21+∑i=2nx1xi)=1nE(x2)+1n∑i=2nE(x1xi)=σ2+k2n+n−1nk2

将下面的式子带入，很容易得到：

Cov(x1,y)=σ2n

2.Case2

已知随机变量 x1,x2,⋯,xn 相互独立且同分布，求 y=x1+x2+⋯+xn 的概率密度函数，均值，方差。
解答过程：
先看 n=2 的情况，此时 y=x1+x2

p(y)=P{Y≤y}=p{x1+x2≤y}=∫+∞−∞f(x)∫y−x−∞f(z)dz

则概率密度 p2(y)=∫+∞−∞f(x)f(y−x)dy

对于 n=3

p3(y)=∫+∞−∞p2(x)f(y−x)dx=∫+∞−∞∫+∞−∞f(z)f(x−z)dzf(y−x)dx

以此类推，且统一变量字母，可得：

pn(y)=∫+∞−∞∫+∞−∞⋯∫+∞−∞f(x1)f(x2−x1)f(x3−x2)⋯f(xn−1−xn−2)f(y−xn−1)dx1dx2⋯dxn−1

均值很容易看出来是为 nExi ，下面看看求方差。

D(y)=E(y2)−E2(y)=E(x1+x2+⋯+xn)2−(nEx)2=E(x21+x22+⋯+x2n+2∑i=1n∑j=1,j≠inxixj)−(nEx)2=n(Ex)2+nDxi+n(n−1)(Ex)2−n2(Ex)2=nDxi

如果稍微扩展一下, y=c1x1+c2x2+⋯+cnxn ，那么期望为 E(y)=∑ciE(xi) ，求方差的方法与上面类似:

D(y)=E(y2)−E(y)2=E(c1x1+c2x2+⋯+xn)2−E2(c1x1+c2x2+⋯+xn)=E(c21x21+c22x22+⋯+c2nx2n+2∑i=1n∑j=1,j≠inxixj)−E2(c1x1+c2x2+⋯+xn)=∑i=1nc2i(Exi)2+∑i=1nc2iDxi+2∑i=1n∑j=1,j≠inxixj)−E2(c1x1+c2x2+⋯+xn)=∑i=1nc2iDxi