洛谷 P3327 [SDOI2015]约数个数和 莫比乌斯反演

P3327 [SDOI2015]约数个数和

学习莫比乌斯反演最大的感觉就是：这完全靠智商硬核推公式啊。

d(ij)的约数个数预备知识：

                                 

                            

我们切换一下枚举次序：（考验智商了）

                            

莫比乌斯函数性质：

                                 

代换：

                                

假设n<=m，再次切换枚举次序：（再次考验智商了）

                                  

 

                                  

设                                 

                                                  

我们先从1到50000打表g(x)，接下来就可以直接整除分块了解决这个题了。

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int pri[maxn],vis[maxn],mu[maxn],cnt;
ll g[maxn],sum[maxn];
void get_mu(int n)
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])mu[i]=-1,pri[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=n;j++)
		{
			vis[pri[j]*i]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
			else mu[pri[j]*i]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int l=1,r;l<=i;l=r+1)
	{
		r=i/(i/l);
		g[i]+=1ll*(r-l+1)*(i/l);
	}
}
int main()
{
	int T,n,m;
	get_mu(5e4);
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		ll ans=0;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		int nn=min(n,m);
		for(int l=1,r;l<=nn;l=r+1)
		{
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans+=1ll*(sum[r]-sum[l-1])*g[n/l]*g[m/l];
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}