时态逻辑(LTL)简介

LTL公式 ϕ 定义为：

ϕ=⊤|⊥|p|¬ϕ|ϕ∧ϕ|ϕ∨ϕ|ϕ→ϕ|(Xϕ)|(Fϕ)|(Gϕ)|(ϕUϕ)|(ϕWϕ)|(ϕRϕ)

其中 X,F,G,U,W,R 称为时态连接词。
X 表示Next下一个状态
F 表示Future未来某个状态
G 表示Globally所有将来的状态
U 表示Until直到
W 表示Weak-Until若直到
R 表示Release，解放，释放

迁移系统(Transition System)
迁移系统 M=(S,→,L) 是由下面三部分构成：
（1） S 是状态集
（2） → 是 S 上的二元关系，称为迁移关系，使得 ∀s∈S ，都有 s′∈S 且 s→s′ ,即 → 是 S 上的连续关系
（3）标号函数 L ： S→P(Atoms)

路
模型 M=(S,→,L) 的路是指 S 中的无线状态序列 s1,s2,⋯,sn,⋯ 使得 ∀i≥1,si→si+1
通常将路写成： s1→s2→⋯ ，并用 π 表示一条路。
注： πi 表示从状态 si 开始的路。

路满足公式
给定模型 M=(S,→,L) ，以及路 π=s1→s2→⋯ 定义 π 满足公式 phi ，记作 π⊨ϕ ，归纳如下：
1. π⊨⊤
2. π⊭⊥
3. π⊨p 当且仅当 p∈L(s1)
4. π⊨¬ϕ 如果 π⊭ϕ
5. π⊨ϕ∧ψ 如果 π⊨ϕ 且 π⊨ψ
6. π⊨ϕ∨ψ 如果 π⊨ϕ 或 π⊨ψ
7. π⊨ϕ→ψ 如果 π⊨ϕ 则 π⊨ψ
8. π⊨Xϕ 如果 π2⊨ϕ
9. π⊨Fϕ 如果 ∃i≥1,πi⊨ϕ
10. π⊨Gϕ 如果 ∀i≥1,πi⊨ϕ
11. π⊨ϕUψ 如果 ∃i≥1, 使得 πi⊨ψ 且对所有的 j=1,2,⋯,i−1 都有 πj⊨ϕ .
12. π⊨ϕWψ 如果或者 ∃i≥1 使得 πi⊨ψ 且对所有的 j=1,2,⋯,i−1 都有 πj⊨ϕ 或者对于所有的 k≥1 都有 πk⊨ϕ
13. π⊨ϕRψ 如果或者 ∃i≥1 使得 πi⊨ϕ 且对所有的 j=1,2,⋯,i 都有 πj⊨ψ 或者对于所有的 k≥1 都有 πk⊨ψ

状态满足公式
设 M=(S,→,L) 是一个模型， s∈S , ϕ 是一个LTL公式，若对 M 的从 s 出发的每条路 π 都有 π⊨ϕ ,则称状态 s 满足 ϕ ,记作 M,s⊨ϕ ,或 s⊨ϕ .

下面各等式成立

deMargan 律	¬(ϕ∧ψ)≡¬ϕ∨¬ψ
	¬(ϕ∨ψ)≡¬ϕ∧¬ψ
幂等律	¬¬ϕ≡ϕ
对偶率	¬Gϕ≡F¬ϕ
	¬Fϕ≡G¬ϕ
	¬F(ϕUψ)≡¬ϕR¬ψ
	¬(ϕRψ)≡¬ϕU¬ψ
自对偶率	¬Xϕ≡X¬ϕ
分配率	F(ϕ∨ψ)≡Fϕ∨Fψ
	G(ϕ∨ψ)≡Gϕ∨Gψ

连接词相互定义

Fϕ≡⊤Uϕ

Gϕ≡⊥Rϕ

ϕWψ≡ϕUψ∨Gϕ

ϕWψ≡ψR(ϕ∨ψ)

ϕRψ≡ψW(ϕ∧ψ)

ϕUψ≡ϕWψ∧Fψ

连接词的充分性：
{ U,X },{ R,X },{ W,X }