Python统计分析库statsmodels的OLS

statsmodels库官方文档http://www.statsmodels.org/stable/，里面包含很多统计模型和相应计算结果；一些Linear Regression Models例子http://www.statsmodels.org/stable/examples/index.html#regression

下面主要陈述常用的回归分析中的OLS:Ordinary Least Squares。
给定 k 组样本数据 (yi,x(i)1,x(i)2,⋯,x(i)n)，i=1,2,⋯,k ，
用 n+1 维一次多项式回归模型

y(x)=α0+α1x1+α2x2+⋯+αnxn=(α0,α1,⋯,αn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟≜αTx

其中 α=(α0,α1,⋯,αn),x=(1,x1,x2,⋯,xn)T 。

这里将常数项并入 α,x 以增广形式表出是为了和statsmodels.OLS模块编写源码对应，OLS里的多项式回归模型是没有常数项的，所以这里将常数项看作基为 1 的维度上的系数，OLS就是用样本数据拟合出最小二乘最小的系数组合，即求 α 。

对上述 k 组样本数据进行最小二乘拟合，即最小化

∑i=1k(yi−α0+α1x(i)1+⋯+αnx(i)n)2

statsmodels.OLS 的参数有endog, exog, missing, hasconst等 ，现在只考虑前两个。

第一个输入 endog 是回归模型中的因变量 y(x) , 输入是一个 k 维向量 (y1,y2,⋯,yk)T 。第二个输入 exog 是自变量，即 k 个样本点构成的 k×(n+1) 维数组

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1x(1)1x(2)1⋮x(k)1x(1)2x(2)2⋮x(k)2⋯⋯⋱⋯x(1)nx(2)n⋮x(k)n⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

通常，我们使用的数据集的 k 个样本点构成的数组第一列并不全是 1 ，所以为了使用OLS模型函数，需要在数组左侧加上一列 1，就需要使用statmodels库的add_constant()函数，该函数的参数就是因变量数组(上述 k×(n+1) 维数组去掉左侧一列 1 )，也就是数据分析中用到的具有物理含义的list、pd.Series、pd.DataFrame；该函数的输出就如上述形式的 k×(n+1) 维数组。

import pandas as pd # 读取数据到DataFrame
import urllib # 获取网络数据
import shutil # 文件操作
import zipfile # 压缩解压
import os

# 建立临时目录
try:
    os.system('mkdir bike_data')
except:
    os.system('rm -rf bike_data; mkdir bike_data')

data_source = 'http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/00275/Bike-Sharing-Dataset.zip' # 网络数据地址
zipname = 'bike_data/Bike-Sharing-Dataset.zip' # 拼接文件和路径
urllib.request.urlretrieve(data_source, zipname) # 获得数据

zip_ref = zipfile.ZipFile(zipname, 'r') # 创建一个ZipFile对象处理压缩文件
#zip_ref.extractall(temp_dir) # 解压
zip_ref.extractall('bike_data')
zip_ref.close()

daily_path = 'bike_data/day.csv'
daily_data = pd.read_csv(daily_path) # 读取csv文件
daily_data['dteday'] = pd.to_datetime(daily_data['dteday']) # 把字符串数据传换成日期数据
drop_list = ['instant', 'season', 'yr', 'mnth', 'holiday', 'workingday', 'weathersit', 'atemp', 'hum'] # 不关注的列
daily_data.drop(drop_list, inplace = True, axis = 1) # inplace=true在对象上直接操作

daily_data.head() # 看一看数据~

import statsmodels.api as sm 
#最小二乘
from statsmodels.stats.outliers_influence import summary_table 
#获得汇总信息

x=sm.add_constant(daily_data['temp'])
#线性回归增加常数项 y=kx+b
y=daily_data['cnt']
regr=sm.OLS(y,x)
res=regr.fit() 

st, data, ss2 = summary_table(res, alpha=0.05) 
#置信水平alpha=5%，st数据汇总，data数据详情，ss2数据列名
fitted_values = data[:,2]  
#等价于res.fittedvalues

res.model.endog ==y.values  
#拟合回归模型的endog值就是因变量y

res.fittedvalues  #获取拟合y值

res.params  #拟合回归模型参数
res.params[0]+res.params[1]*daily_data['temp']==res.fittedvalues  #验证二维回归模型的拟合y值计算原理

总结下，常用的OLS模型模板

import statsmodels.api as sm # 最小二乘
from statsmodels.stats.outliers_influence import summary_table # 获得汇总信息
x = sm.add_constant(daily_data['temp']) # 线性回归增加常数项 y=kx+b
y = daily_data['cnt']
regr = sm.OLS(y, x) # 普通最小二乘模型，ordinary least square model
res = regr.fit()    #res.model.endog
# 从模型获得拟合数据
st, data, ss2 = summary_table(res, alpha=0.05) # 置信水平alpha=5%，st数据汇总，data数据详情，ss2数据列名
fitted_values = data[:,2]  #等价于res.fittedvalues

以上内容参考statsmodels官网和pip install的源码