机器学习高斯混合模型（中篇）：聚类求解

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回顾

昨天，介绍了高斯混合模型（GMM）的一些有意思的小例子，说到高斯混合能预测出每个样本点属于每个簇的得分值，这个具有非常重要的意义，大家想了解这篇推送的，请参考：
机器学习高斯混合模型：聚类原理分析（前篇）

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GMM求解思路

GMM中的归纳偏好是组成数据的几个簇都满足高斯分布。

GMM求解的已知条件：
被分簇的个数是已知的；
当然，还有那一堆训练数据

GMM算法的任务：预测出每个样本点属于每个簇的得分值，每个簇中得分最大的就是这个样本点属于的簇。

GMM算法的求解思路：我们先从一个簇说起，此时就是一个高斯分布吧。假如已知训练数据有20个，那么这20个数据一定属于当前这个簇吧，因为一共就有1个簇，那是必须属于吧，所以只需要求这个高斯分布的参数：均值和方差，一般参数估计都是用最大似然估计吧，就是每个样本发生的概率乘积最大吧，得到：

这样我们就求出这20个数据满足以上参数的高斯分布的概率密度，再来一个数据时，我们根据这个概率密度的公式，便能得出它的概率密度吧。

那两个簇组成的GMM呢？它和一个簇满足高斯有什么不同呢？只有一个不同：簇多了1个，导致的问题：不知道某个样本点到底属于哪个簇，或者说属于每个簇的概率都是多大，这就是增加的那个需要求解的隐变量，也是多出来的一个未知量。

因为我们在事先不知道20个样本点的簇的对应情况时，干脆直接假定它们属于每一个簇，只不过贡献的大小不一致。对每个簇而言，它容纳了所有的样本点，只不过包含每个样本点的系数不大一样。根据这个思路，这不就又回到一个簇的情况了吗，只不过每个样本点对这个簇的贡献值不是恒为1，而是可能一个小于1的系数吧，根据这个分析，我们得出第 i 个数据点对簇 k 的贡献为：

其中：，可以理解为簇 k 对GMM的贡献和第 i 个数据对簇 k 的贡献的乘积，不就等于第 i 个数据对GMM的贡献吗，分母是第 i 个数据所有簇的贡献和。f 函数是高斯分布的概率密度函数。

这样求出了所有数据对簇 k 的贡献了吧，所以簇 k 也包括了所有数据点吧，有了它们再结合簇 k 满足高斯，极大似然估计可以得出簇 k 的均值和方差吧，与只有一个簇的样本和方差类似：

只不过，每项前面增加了一个贡献系数：第 i 个样本对簇 k 的贡献，是什么变量，不难理解，每个样本对 k 的贡献系数为 r(i,k)，既然簇 k 包括所有的样本，也就是20个样本的贡献系数和，即：

自然地，每个簇对GMM的贡献系数等于：

极限情况，当k = 1时，即只有一个簇时，Nk = N, =1，即这个唯一的簇对 GMM 的贡献系数为1 。

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迭代求解

有了上面的几个公式，分布设定每个簇的均值和方差一个初始值，也设定一个初始值，那么每个样本对某个簇的贡献系数 r(i,k)便可求出，r(i,k)一旦求出，和便可求出，进一步，簇 k 的均值和方差便可求出，这样完成了一次参数的迭代，

迭代更新参数r(i,k)，，，簇 k 的均值和方差，直到簇 k 的均值和方差收敛为止（小于某个阈值），这样完成GMM的求解：得到每个样本点对每个簇的贡献大小，一个样本得出 k 个贡献大小，一共 N 个样本，则最终得到 （N, k）二维数组，取每行的贡献最大值，即为这个样本所属的簇。

预知按照以上求解思路对GMM的不掉包python代码求解，请关注明天的推送，谢谢您的阅读。

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