Manacher算法--求最长回文子串
回文和回文子串
回文串：顺着读和倒着读都一样的字符串；
回文子串：给定字符串string，若str同时满足以下两个条件：1）str是string的子串；2）str是回文串；那么str就是string的回文子串；
引出问题
要求求出上面string中最长的那个回文子串；
解决方案
方案一：枚举中心位置，对奇数位串和偶数位串分开处理；
int AllAlgorithms::longestPalindrome(const char *s, int n){
int max,j;
if (0 == s || n < 1) {
return 0;
}
max = 0;
for (int i = 0; i < n ; ++ i) {//i为回文串的中心
for ( j = 0; ((i - j) >= 0) && ((i+j) < n); ++j) {//如果回文串的长度是奇数
if (s[i-j] != s[i+j]) {
break;
}
if ((j * 2 + 1) > max) {
max = 2*j + 1;
}
}
for (j = 0; ((i-j) >= 0) && ((i+j+1) < n); ++j) {//如果回文串的长度是偶数
if (s[i-j] != s[i+j+1]) {
break;
}
if ((j * 2 + 2) > max) {
max = 2*j + 2;
}
}
}
return max;
}
方案二：Manacher算法
对于一个长度为n的字符串，考虑如下问题：
长度为n的字符串，一定有n-1个“邻接间隙”，在加上首字符的前面，以及尾部字符的后面，一共有n-1+2=n+1个“gap”，然后再加上字符串本身，一共有字符n+n+1=2n+1个，这样一扩展，可以发现，它一定为奇数，因此这样做了扩展后，我们可以只考虑奇数的情况，无需考虑偶数的情况，大大简化了代码；
下面我们就来介绍有关Manacher算法的解决思路是什么样的：
介绍之前先给出两个trick：
1）为处理一致，在字符串最前面加上一位未出现过的字符，如$:
2）用一个数组P[i]来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左或向右扩张的长度（包括S[i]），如：
算法的任务：在P[0...i-1]已知的前提下，计算P[i]的值，换句话说就是，在P[0...i-1]已知的前提下，能否为P[i]的计算提供有用的信息；
算法核心：
1）简单遍历，得到i个三元组{k,P[k],k+P[k]},0≤k≤i-1；以k为中心的字符形成的最大回文子串的最右位置是k+P[k]-1；
2）以k+P[k]为关键字，找出上述i各三元组中，k+P[k]最大的那个三元组，记作(id,P[id],id+P[id])，为了简化起见，进一步记mx=id+P[id]，于是得到三元组为(id,P[id],mx)，含义就是：在上述遍历得到的所有三元组中，向右到达最远的位置，就是mx；
3）在计算P[i]的时候，考查i是否落在了区间[0,mx)中：若i落在区间[0,mx)的右侧，说明区间[0,mx)没能控制住i，P[0...i-1]已知的前提下不能为P[i]的计算提供有用的信息；若i落在mx的左侧，则说明[0,mx)控制住了i，可以提供一些有用的信息；
下面我们用图示来看一下Manacher算法的递推关系：
1)
记i关于id的对称点为j，j=2*id-i，如果此时满足：mx-i >P[j]，则：
记my为mx关于id的对称点：my = 2*id-mx;
因为以S[id]为中心的最大回文子串为：S[my+1...id...mx-1]，而S[my+1...id]与S[id...mx-1]对称，i和j也关于id对称，所以P[i]=P[j];
2)
上图中，同样的：
记i关于id的对称点为j，j=2*id-i，如果此时满足：mx-i < P[j]，则：
记my为mx关于id的对称点：my = 2*id-mx;
因为以S[id]为中心的最大回文子串为：S[my+1...id...mx-1]，而S[my+1...id]与S[id...mx-1]对称，i和j也关于id对称，所以P[i]至少是等于上图中绿色框部分，即等于mx-i;
void AllAlgorithms::Manacher(char *s, int *p){
int size = (int)strlen(s);
p[0] = 1;
int id = 0,mx = 1;
for (int i = 1; i < size; i ++) {
if (mx > i) {
p[i] = min(p[2*id - i], mx- i);
}
else
p[i] = 1;
for (; s[i+p[i]] == s[i- p[i]]; p[i] ++);
if (mx < i + p[i]) {
mx = i + p[i];
id = i;
}
}
}
int AllAlgorithms::min(int a, int b){
return ((a+b) - abs(a-b))/2;
}