Tsai两步标定法

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  1. 相机畸变模型
  2. 畸变量
  3. 实际图物理坐标系与像素坐标系的关系基本关系
  4. 基本公式在线性标定的基础上
  5. 畸变的总体表示
  6. 三种畸变的数学模型
  7. 模型参数
  8. 两步标定法正式开始
  9. 两步法的前提
  10. 公式推导
  11. 径向约束公式
  12. 第一步
    1. 求中间变量
    2. 求ty
  13. 第二步
  14. U0V0的标定
    1. 直接光学法
    2. 变焦距法
    3. 径向排列约束法
  15. 小小总结一下

在直接线性标定方法中,并没有考虑相机镜头的非线性畸变,而在Tsai提出的两步标定法中很好的解决了这个问题。相关理论推导如下:

1、相机畸变模型


在前一篇文章中有提到,应该比较好理解。

Tsai两步标定法_第1张图片



我们可以看出在上图中可以分以下几个坐标系:

① 像机坐标系Oc

② 图像像素坐标系Oi

③ 世界坐标系Ow

④ 实际图像物理坐标系Od

⑤ 理想图像物理坐标系Ou



2、畸变量

此时,畸变量可分为在X方向和Y方向上,这种畸变量我们只考虑了径向畸变,其他畸变右以忽略不计,径向畸变本身是有一定的线性关系的,下面畸变模型的讲解时也会说到:



Tsai两步标定法_第2张图片


xx方向畸变量

yy方向畸变量




3、实际图物理坐标系与像素坐标系的关系(基本关系)



Tsai两步标定法_第3张图片


dx: x方向的像素距(每个像素在x方向的长度)

dy: y方向的像素距(每个像素在y方向的长度)



4、基本公式(在线性标定的基础上)


Tsai两步标定法_第4张图片

Tsai两步标定法_第5张图片


5、畸变的总体表示


Tsai两步标定法_第6张图片


径向畸变Dr

离心畸变Dt

薄棱镜畸变Dp


6、三种畸变的数学模型

 

径向畸变及其规律(径向约束):


Tsai两步标定法_第7张图片


离心畸变:


Tsai两步标定法_第8张图片


薄棱镜畸变:


Tsai两步标定法_第9张图片

总畸变:


Tsai两步标定法_第10张图片



畸变系数:

径向畸变:k1

离心畸变:p1, p2

薄棱径畸变:s1, s2




7、模型参数


内参数:

      焦比:fu, fv

      图像中心(主点)坐标:u0,v0

畸变系数: k1, p1, p2, s1, s2

 

 

外参数:

      平移矢量:T

      旋转矩阵:R

 

典型标定方法

    利用像机畸变模型建立约束方程

    确定优化目标函数

以非线性优化方法求解

 

缺点:

    优化程序计算复杂,速度慢

    标定的结果取决于初始值



8、两步标定法正式开始


1987年由Tsai提出

第一步:求除tz外的所有外参数

    利用径向排列约束(RAC

    线性求解

第二步:求其余参数

    非线性优化


9、两步法的前提


假设:

 u0,v0已知

只考虑二阶径向畸变

 主点既是图像中心又是径向畸变中心

 

 

10、公式推导


Tsai两步标定法_第11张图片



得到以下公式:


Tsai两步标定法_第12张图片


11、径向约束公式


Tsai两步标定法_第13张图片

Tsai两步标定法_第14张图片

Tsai两步标定法_第15张图片


上面已经求出:


Tsai两步标定法_第16张图片


综合可得:


Tsai两步标定法_第17张图片

乘开:


Tsai两步标定法_第18张图片


12、第一步

1、求中间变量

 

为了方便表示与计算,用参数将变量代替:


Tsai两步标定法_第19张图片

2、 求|ty|


Tsai两步标定法_第20张图片

Tsai两步标定法_第21张图片

Tsai两步标定法_第22张图片


4、求tx


Tsai两步标定法_第23张图片


5、求R


Tsai两步标定法_第24张图片

6、确定ty符号:




ty>0, 求其它参数

     用远离图像中心的特征点计算:

 

 

假设条件正确:

    xciui-u0同号

    ycivi-v0同号

 

 

剩余参数:fu,fv, tz, k1

约束方程:

 

13、第二步

剩余参数:fu,fv, tz, k1


Tsai两步标定法_第25张图片


Tsai两步标定法_第26张图片


Tsai两步标定法_第27张图片Tsai两步标定法_第28张图片Tsai两步标定法_第29张图片


已知:




求:

 

方法:非线性优化

 

 

确定初始值:

  k1=0, dv=1

  忽略非线性畸变,求解fvtz


Tsai两步标定法_第30张图片

Tsai两步标定法_第31张图片


14U0V0的标定

直接光学方法 

变焦距法

径向排列约束法

 

 

直接光学法

用一束激光照射像机镜头

在光路上放一张有孔的纸

使激光的入射光线与反射光线重合

用像机摄取包含激光光斑的图象

光斑的中心坐标即为光心坐标

调整困难但精度较高 

 

 

变焦距法

 

条件:光心与镜头的缩放中心重合

实现:

      不同距离分别对多个特征点成像

      每个特征点一个线性方程


Tsai两步标定法_第32张图片


径向排列约束法


Tsai两步标定法_第33张图片

Tsai两步标定法_第34张图片


利用共面标定板,取zwi=0

 

 

 

非线性优化求解

 

 

15、小小总结一下:

前面标定方法共性:

    已知特征点二维图像坐标与三维空间坐标

    需要标定参照物

统称:传统标定方法

优点:适用任意摄像机模型,标定精度高

不足:需标定参照物,某些应用中难以实现

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