穷举法

穷举概述

1. 穷举的概念
   穷举法又称列举法、枚举法，是蛮力策略的具体体现，是一种简单而直接地解决问题的方法。其基本思想是逐一列举问题所涉及的所有情形，并根据问题提出的条件检验哪些是问题的解，哪些应予排除。
   通常程序设计入门都是从穷举设计开始的。今天，计算机的运算速度非常快，应用穷举设计程序可快捷地解决一般数量的许多实际应用问题。
   穷举法的特点是算法设计比较简单，解的可能为有限种，一一列举问题所涉及的所有情形。
   穷举法常用于解决“是否存在”或“有多少种可能”等问题。其中许多实际应用问题靠人工推算求解是不可想象的，而应用计算机来求解，充分发挥计算机运算速度快、擅长重复操作的特点，穷举判断，快速简便。
   应用穷举时应注意对问题所涉及的有限种情形须一一列举，既不能重复，又不能遗漏。重复列举直接引发增解，影响解的准确性；而列举的遗漏可能导致问题解的遗漏。

2. 穷举的框架描述
   穷举通常应用循环结构来实现。在循环体中，根据所求解的具体条件，应用选择结构实施判断筛选，求得所要求的解。
   穷举法的框架描述：
   n=0;
   for(k=<区间下限>;k<=<区间上限>;k++) // 根据指定范围实施穷举
   if(<约束条件>) // 根据约束条件实施筛选
   { printf(<满足要求的解>); // 输出满足要求的解
   n++; // 统计解的个数
   }
   有些问题没有明确的区间限制，可根据问题的具体实际试探性的从某个数开始，增值穷举，对每一个数作一判断，若满足条件即输出结果，结束穷举。
   尽管穷举比较简单，在应用穷举设计求解实际问题时要认真分析，准确选定穷举范围与约束条件。
   穷举法 = 循环 + 判断

3. 穷举的实施步骤
   应用穷举设计求解，通常分以下几个步骤：
   （1）根据问题的具体情况确定穷举量（简单变量或数组）；
   （2）根据确定的范围设置穷举循环；
   （3）根据问题的具体要求确定筛选约束条件；
   （4）设计穷举程序并运行、调试，对运行结果进行分析与讨论。
   当问题所涉及数量非常大时，穷举的工作量也就相应较大，程序运行时间也就相应较长。为此，应用穷举求解时，应根据问题的具体情况分析归纳，寻找简化规律，精简穷举循环，优化穷举策略。
4. 穷举设计的意义
   虽然巧妙和高效的算法很少来自穷举，但穷举设计作为一种常用的基础算法不能受到冷漠与轻视：
   （1） 理论上，穷举可以解决可计算领域中的各种问题。尤其处在计算机计算速度非常高的今天，穷举的应用领域是非常广阔的。
   （2） 在实际应用中，通常要解决的问题规模不大，用穷举设计的算法其运算速度是可以接受的。此时，设计一个更高效率的算法代价不值得。
   （3） 穷举可作为某类问题时间性能的底限，用来衡量同样问题的更高效率的算法。